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一个仍未确定解决的重要谜题 比哥德巴赫猜想重要性大得多的谜题 据说一些数学家愿用灵魂换答案的谜题 Riemann Hypothesis (RH) 以尽量简洁的陈述说明黎曼假设，共5部分：
这里有三个关键词：ζ函数、零点、非平凡 （哦，对了，可能还要加上“实部”这个词） 但是——但是一上来就解释这三个词，会不那么有趣，所以先记住这三个关键词，进入第二部分，回头再解释这个表述。
1. 素数(Prime number)、素数定理、高斯 黎曼假设看起来太遥远，所以说要先来点简单明了的，比如说素数。素数即质数，我们认识质数通常是在小学5年级课本，并且需要背诵前8个质数： 2、3、5、7、11、13、17、19 当然，我们也可以把110以内的质数都列出来，并以适当布局排列，会很好记 2、3、5、7、11、13、17、19、 23、29、31、37、41、43、47、 53、59、61、67、71、73、79、 83、89、97、101、103、107、109 特别是中间两行，注意到了么：尾数几乎一致，且每10个自然数中的质数个数很齐整。 质数的重要性，学过小奥的都知道，就不再解释了。如果不熟悉质数也没关系，高斯，这位数学王子，连小朋友都是熟悉的，当然，主要是那个速算1~100的和的故事。 然而在他稍大一点的时候，还有另一个故事，就是他从15岁开始，每天“休闲一刻钟”的空闲，用来计算连续1000个自然数中有多少个质数，差不多坚持了1000个1000（也就100万）。 看起来没什么了不起，嗯。 不过我们可以试着处理一个数字： 20291，才2万多，这是他第21天就会遇到的1000个数字之一，那么这个数是不是质数呢？——欢迎使用计算器O(∩_∩)O 实际上高斯计算了四五年，在19岁猜想了质数在数字中出现的频率： 在前N个自然数中，大约有N/lnN 个质数 （其中lnN是以e为底的对数运算） 这个结论后来被改进的更加精确： 前x个自然数中，质数的个数约为Li(x) （其中Li(x)是一个积分式） 这个结论叫做素数定理，简称PNT（能猜出是哪几个单词的缩写么？）PNT可以通过枚举来做一些验证，但并不是个简单易证的定理，至少直到高斯甚至直到黎曼去世的时候，素数定理还没有公布于众的任何证明。 2.两个无穷级数，欧拉 先认识第一个级数：正整数的倒数和， 又称调和级数： 我们要证明，S是趋于无穷大的…… 等等，那个省略号的意思不就是无数个数，总和不就是无穷大么？ 当然不是，试一下另一个无穷和：1/2+1/4+1/8+1/16+...就知道了，像这样无限个数的和，结果不超过1。 S是趋于无穷大的，这个证明倒是特别简单， 一个普通的六年级学生就能看懂： 即，把1/3和1/4都换成1/4 把1/5到1/8的数都换成1/8 把1/9到1/16的数都换成1/16 ...... ...... 容易发现，更换后每组数的结果都是1/2，显然，无穷多个1/2的和是趋于无穷大的。既然调和级数S其实大于刚才那一堆1/2的和，所以调和级数S是趋于无穷大的！ 第二个级数 即平方数的倒数和，也被称为巴塞尔问题。 第26期学报已经说过，在1735年， 28岁的欧拉算出了正确的结果： 这个结果本身已经足够令人惊讶了，因为无穷多个分数的和居然会与圆周率有关！ 接下来的事可以让我们认识一个真正的欧拉，一个数学上的计算狂人所能达到的境界——欧拉接下来又计算了所有自然数4次方的倒数和，然后继续计算所有自然数6次方的倒数和：如此下去，一直计算到了26次方的倒数和...... 等等，这两个无穷和，对黎曼假设有什么意义？ 很好，如果开始体会到一点数学的感觉，这时候就能好好回头来看黎曼假设的陈述：
这个函数的正式的研究源于黎曼在1859年的一篇文章：《论小于一个给定值的素数的个数》。看到这个标题，就能明白为什么要扯上质数和PNT，因为看起来，它说的就是PNT的事情： 小于x的质数的个数 那么现在正式解释第一部分给出的三个关键词： ζ函数、零点、非平凡 （1）ζ函数： 其中自变量s是复数（即a+bi形式） 理解到为什么要聊上面的无穷级数么？在ζ函数里，当s=1和2时，就是刚才处理的两个级数，欧拉还顺便搞定了s=4、6、8、……、26。 然后就要简单解释一下复数。 引入“虚数单位”：i，其中i²=-1 那么复数s的表现形式就是： s=a+bi 其中a、b都是实数，i是虚数单位， a称为复数s的实部，b称为s的虚部。 黎曼假设中，自变量s位于指数位置。 对数学家而言，数字的存在不是基于“常识”，而是满足什么样的运算法则和具有何种特征。 对中学生而言，只需掌握复数的特征： 复数a+bi与平面上的点(a,b)对应 就和“实数与数轴上的点一一对应”一个意思。 再次重复一下黎曼假设： ζ函数所有非平凡零点的实部都等于1/2 （2）零点 这是一个相对简单的概念，零点不是点，通常指一个函数值为零时，所对应的自变量的取值。简称“零点不是点，而是一个数”。 比如y=x²-1，这个函数的零点就是让y=0时对应的x的值。显然，函数的零点是1和－1，注意并不是(1,0)和(-1,0)。 （3）“非平凡”又是什么意思 其实ζ函数有一些平凡的零点，就是所有的负偶数，就是-2、-4、-6、……这些都是平凡的零点。要注意的是，ζ函数是复变量函数，它的性质和实数情况不一样。s= - 2时，以实数函数理解，就变成了 1²+2²+3²+……， 这个结果肯定不是零——详细解释复变量函数与实变量函数的不同，需要许多相关知识，暂不作展开。毕竟，平凡的零点不是我们关注的部分。 但是，可以通过一个和黎曼假设重要性接近的问题：费马大定理，来说明什么是“平凡的”： 我们可以很快反驳，比如a=0时，只要b=c都可以，明明有无穷多组整数解。 然而这样的解都是“平凡的”，因为a=0时，方程实际变成了： 这个方程的解并没有什么实际价值，我们想要研究的，是“非平凡”的解的情况。 黎曼自己，对ζ函数的非平凡零点有三层论述，简明表达是这样的：
（2）所有的零点都在直线x=1/2附近 （3）所有非平凡零点的实部为1/2 这就是黎曼在那篇著名的，仅有8页的论文中关于ζ函数的说明，第（3）条表述的那个猜测，就是黎曼假设。 （黎曼自己说，“在经历了一些徒劳的尝试”之后，虽没能证明，但我相信这一点） 黎曼在日常生活中是一个羞怯的人，他继承了高斯、狄利克雷在哥廷根大学的位置（显然是非常重要的位置），但在授课的时候也是同样的不善言辞，并且很可惜不到40岁就因病去世(1866年)。 而他在数学上展现出的创造力和非凡的直觉、深刻的洞察力，都是顶级的。比如他所开创的黎曼几何，就为半个世纪之后爱因斯坦的广义相对论提供了整套的数学工具（当然，黎曼几何的意义远不止于此）。
说了这么多，黎曼假设到底能干什么？为什么会获得广泛的关注？并且，既然黎曼假设是重要的，那为什么数学界对任何声称“证明了黎曼假设”的消息表现的不是热情，而是冷淡？ 我们先来列举一些进展：
ζ函数的非平凡零点，对应的实部a<1， 于是就证明了PNT。 什么？只是把“≤”改成了“<”，就能解决素数定理？对，这还只是黎曼第一论述的力量。 于是也可以认识到：黎曼假设的确是重要的，但显然是困难的，想要证明或证否，绝对不是随便说说的事情，这也差不多是真正尝试过的数学家对黎曼假设的态度：不相信有人现在就能解决黎曼假设。 2. 1914年，牛顿同学的校友，哈代和李特尔伍德，分别得出两个与黎曼假设有关的成果： 哈代： ζ函数有无穷多个非平凡零点的实部为1/2 李特尔伍德： Li(x)和x以内的质数个数相比，虽然从已验证的若干亿个数来看，都是Li(x)大一些，但实际上，它们会交替领先无穷多次。 等等，哈代的结论是不是证明了黎曼假设？ 当然不是，无穷多个零点不等于“所有”零点。 考虑下面的问题，有多少个整数m可以满足为下面的等式？ m = 奇数 + 偶数 有无穷多个m使等式成立，比如所有奇数。 然后就能意识到，无穷多个整数可以表示为奇数+偶数，与“所有整数都能表示为奇数+偶数形式”，显然不是一回事。 另外，李特尔伍德和哈代等数学家还做了一件有意义的事情：计算了前138个非平凡的零点，毫无意外，这些零点的实部都是1/2。（手动计算零点是一件非常困难的事情，那些零点的虚部b都是无理数，所以给出的都是近似值，比如第一个零点的近似值是0.5+14.134725i） 3. 好了，既然已经知道，哈代证明的“无穷多”和“所有”之间有巨大差距，那么，哈代证明出来的这些“无穷多个”零点，到底占所有零点的多大一部分？在当时的结论是，就像奇数相对实数的比例而言，可以认为是0%...... 好在经过几代数学家的努力，到2012年，中国数学家冯绍继，利用已有的方法证明： 至少41.28%的非平凡零点实部为1/2 这是目前最好的比例结果。 4. 那么具体的零点个数呢？ 哈代之后，零点的计算停滞了很久（计算过于困难），直到1932年（黎曼去世66年后），一位名叫西格尔的数学家在翻阅黎曼的手稿时，发现黎曼虽然在论文中没有写，但实际上早已经找到了比当前最好的方法更先进的计算方法，于是很快推进到了1000以上。这一发现让数学界重新认识了黎曼和黎曼假设。 （一个重要原因还在于黎曼是用复变量函数——连续的——方法来解决数论中的质数——离散的——数学问题，这两个看似不相关的领域被黎曼紧密的联系在一起） 之后，由于计算机的出现，计算速度大大提升，到2004年，计算出前1万亿，哦不，前10万亿个非平凡零点的实部a=1/2。 这是目前已知的最好的数值结果。 一般而言，我们对大一点的数并没有什么的概念，就以10万亿为例，假如这些零点，平均每一个占用20字节（毕竟10万亿这个数本身就是14位的），还不算这个零点实际的整数部分长度和小数部分，那么10万亿个零点的存储就需要200T也就是200,000G的存储容量，这在2004年并不是一件轻松的事情，那时候主力硬盘还是160G。还好，实际上并不是真的需要具体算出每一个数，真正计算的是在不同范围内的几百亿个零点。
数学上的进展，从短期来看，对数学家以外的人来说大概“有个毛线的影响”。然而从长期来看，则始终有深刻的影响。说点关键的：
过了100年，其中相当一部分得到了解决，到了2000年，美国克雷数学研究所公布了“千禧年大奖难题”，共包含7个，其中黎曼假设又在其中。与100年前不同，希尔伯特只是认为那23个问题重要，并号召大家齐心协力攻克，只是个号召。但“千禧年大奖”，顾名思义，是有奖金的，每个问题的解决会对应有100万美元的奖金。 考虑到数学界对最近证明事件的反应，大可以认为“我那100万美元还是安全的”O(∩_∩)O 实际上，如果真能证明黎曼假设，获得的奖金和荣誉远超出100万美元的价值，每个人都还有机会的：） 2. 与信息安全有关 由于我们的密码使用和信息传输时的加密，都和质数的性质有关，所以黎曼假设的解决，很大可能会影响我们的密码和信息安全。 不过谁知道呢，也许这样就可以推进量子加密，这样至少在信息被窃取时能发现盗取行为，进而产生警觉，嘿嘿。 3. 与个人信仰、世界观有关 有人曾问希尔伯特如果500年后（也许是1000年）重返人间，想问的第一个问题是什么？希尔伯特说： 大概是问黎曼假设被解决了没有
蒙哥马利是谁？ 是他1972年在普林斯顿与物理学家戴森的一次会面，发现“非平凡零点的对关联函数”与量子力学中随机厄密矩阵的本征值分布看起来“完全一样”，然后其他学者才根据这一特点大大改进了算法，用1年多时间，打败了一个成千上万计算机并行系统，把整个系统好几年才完成的不到1万亿个零点，直接推进到了10万亿。 黎曼假设与量子力学的结合，不但显示了算法对效率的影响，还显示了跨学科交流的意义： 蕴藏在质数中的未解奥秘，和微观世界中的能级、光谱等分布之间，可能存着本质的联系。 而城市存在的最初意义，也是让更多的人能有效的连接在一起，创造狩猎时代和农耕时代无法比拟的价值、文化、科技。 而黎曼假设，是又一个暗示数学和其他科学在宇宙本源上紧密关系的证明。 毕竟，每个人每件事物的存在，从本质上都遵循着基本的规律和自然的法则。 |
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