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| 2019年普通高等学校招生数学考试卷 (8) |
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绝密启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）
本试卷分为第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟。第卷1至2页，第卷3至5页。
答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
祝各位考生考试顺利
第卷
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。
2．本卷共8小题，每小题5分共40分。
参考公式：
如果事件A，B互斥，那么.
圆柱的体积公式，其中表示圆柱的底面面积，表示圆柱的高
·棱锥的体积公式，其中表示棱锥的底面面积，表示棱锥的高
一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
（1）设集合，则
（A）{2} （B）{2，3} （C）{-1，2，3} （D）{1，2，3，4}
（2）设变量满足约束条件则目标函数的最大值为
（A）2 （B）3 （C）5 （D）6
（3）设，则“”是“”的
（A）充分而不必要条件
（B）必要而不充分条件
（C）充要条件
（D）既不充分也不必要条件
（4）阅读边的程序框图，运行相应的程序，输出的值为
（A）5 （B）8 （C）24 （D）29
（5）已知，则的大小关系为
（A） （B）
（c） （D）
（6）已知抛物线的焦点为，准线为l.若l与双曲线的两条渐近线分别交于点A和点B，且（为原点），则双曲线的离心率为
（A） （B） （C）2 （D）
（7）已知函数是奇函数，且的最小正周期为π，将的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为.若，则
（A）-2 （B） （C） （D）2
（8）已知函数若关于的方程恰有两个互异的实数解，则的取值范围为
（A） （B） （C） （D）
第卷
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。
2．本卷共12小题，共110分。
二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
（9）是虚数单位，则的值为__________.
（10）设，使不等式成立的的取值范围为__________.
（11）曲线在点处的切线方程为__________.
（12）已知四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱长均为.若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为__________.
（13）设，则的最小值为__________.
（14）在四边形中，，点E在线段的延长线上，且，则__________.
三．解答题：本大题共6小题，共80分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
（15）（本小题满分13分）
2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除.某单位老、中、青员工分别有人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取人调查专项附加扣除的享受情况.
（）应从老、中、青员工中分别抽取多少人？
（）抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为.享受情况如表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受.现从这6人中随机抽取2人接受采访.
员工
项目 A B C D E F 子女教育 ○ ○ × ○ × ○ 继续教育 × × ○ × ○ ○ 大病医疗 × × × ○ × × 住房贷款利息 ○ ○ × × ○ ○ 住房租金 × × ○ × × × 赡养老人 ○ ○ × × × ○ （i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；
（ii）设为事件“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件发生的概率.
（16）（本小题满分13分）
在中，内角所对的边分别为.已知，.
（）求的值；
（）求的值.
（17）（本小题满分13分）
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，
（）设分别为的中点，求证：平面；
（）求证：平面；
（）求直线所成角的正弦值.
（18）（本小题满分13分）
设是等差数列，是等比数列，公比大于，已知.
（）求和的通项公式；
（）设数列满足求.
（19）（本小题满分14分）
设椭圆的左焦点为，左顶点为，上顶点为B.已知（为原点）.
（）求椭圆的离心率；
（）设经过点且斜率为的直线与椭圆在x轴上方的交点为，圆同时与轴和直线相切，圆心在直线上，且，求椭圆的方程.
（20）（本小题满分14分
设函数，其中.
（）若≤0，讨论的单调性；
（）若，
（i）证明恰有两个零点
（ii）设为的极值点，为的零点，且，证明.
绝密启用前
2019年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）
数学（文史类）参考解答
1.【答案】D
【分析】先求，再求。
【详解】因为，所以.故选D。
【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算．
2.【答案】D
【分析】画出可行域，用截距模型求最值。
【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。目标函数的几何意义是直线在轴上的截距，故目标函数在点处取得最大值。
由，得，所以。故选C。
【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求．
3.【答案】B
【分析】求出的解集，根据两解集的包含关系确定.
【详解】等价于，故推不出；由能推出。故“”是“”的必要不充分条件。故选B。
【点睛】充要条件的三种判断方法：
(1)定义法：根据p?q，q?p进行判断；
(2)集合法：根据由p，q成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断；
(3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个方法特别适合以否定形式给出的问题．
4.【答案】B
【分析】根据程序框图，逐步写出运算结果。
【详解】，结束循环，故输出故选B。
【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化；③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体．
5.【答案】A
【分析】利用利用等中间值区分各个数值的大小。
【详解】；；。
故。故选A。
【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。
6.【答案】D
【分析】只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。
【详解】的方程为，双曲线的渐近线方程为，故得，
所以，，，所以。故选D。
【点睛】双曲线的离心率.
7.【答案】C
【分析】只需根据函数性质逐步得出值即可。
【详解】为奇函数，可知，
由可得；
把其图象上各点的横坐标伸长到原来的倍，得，
由的最小正周期为可得，由，可得，
所以，。故选C。
8.【答案】D
分析】画出图象及直线，借助图象分析。
【详解】如图，当直线位于点及其上方且位于点及其下方，
或者直线与曲线相切在第一象限时符合要求。
即，即，或者，得，，即，得，所以的取值范围是。故选D。
【点睛】根据方程实根个数确定参数范围，常把其转化为曲线交点个数，特别是其中一条为直线时常用此法。
二、填空题
9.【答案】
【分析】先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。
【详解】解法一：。
解法二：。
【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形式，再根据题意求解．
10.【答案】
【分析】通过因式分解，解不等式。
【详解】，即，即，故的取值范围是。
【点睛】解一元二次不等式的步骤：(1)将二次项系数化为正数；(2)解相应的一元二次方程；(3)根据一元二次方程的根，结合不等号的方向画图；(4)写出不等式的解集．容易出现的错误有：①未将二次项系数化正，对应错标准形式；②解方程出错；③结果未按要求写成集合．
11.【答案】
【分析】利用导数值确定切线斜率，再用点斜式写出切线方程。
【详解】，当时其值为，故所求的切线方程为，即。
【点睛】曲线切线方程的求法：
(1)以曲线上的点(x0，f(x0))为切点的切线方程的求解步骤：
①求出函数f(x)的导数f′(x)；
②求切线的斜率f′(x0)；
③写出切线方程y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)，并化简．
(2)如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程．
12.【答案】.
【分析】根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。
【详解】四棱锥的高为，故圆柱的高为，圆柱的底面半径为，
故其体积为。
【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。
13.【答案】
14.【答案】.
【分析】可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。
【详解】详解：解法一：如图，过点作的平行线交于，
因为，故四边形为菱形。
因为，，所以，即.
因为，
所以
.
解法二：建立如图所示的直角坐标系，则，。
因为∥，，所以，
因为，所以，
所以直线的斜率为，其方程为，
直线的斜率为，其方程为。
由得，，所以。
所以。
【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。
三.解答题
15.【分析】（I）根据题中所给的老、中、青员工人数，求得人数比，利用分层抽样要求每个个体被抽到的概率是相等的，结合样本容量求得结果；
（II）（I）根据6人中随机抽取2人，将所有的结果一一列出；
（ii）根据题意，找出满足条件的基本事件，利用公式求得概率.
【详解】（I）由已知，老、中、青员工人数之比为，
由于采取分层抽样的方法从中抽取25位员工，
因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人.
（II）（i）从已知的6人中随机抽取2人的所有可能结果为
,,,,共15种；
（ii）由表格知，符合题意的所有可能结果为,,,,共11种，所以，时间M发生的概率.
【点睛】本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型即其概率计算公式等基本知识，考查运用概率知识解决简单实际问题的能力.
16.【分析】(Ⅰ)由题意结合正弦定理得到的比例关系，然后利用余弦定理可得的值；(Ⅱ)利用二倍角公式首先求得的值，然后利用两角和的正弦公式可得的值.
【详解】(Ⅰ)在中，由正弦定理得，
又由，得，即.
又因为，得到，.
由余弦定理可得.
(Ⅱ)由(Ⅰ)可得，
从而，.
故.
【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理?余弦定理等基础知识.考查计算求解能力.
17.【分析】（I）连接，结合平行四边形的性质，以及三角形中位线的性质，得到，利用线面平行的判定定理证得结果；
（II）取棱的中点，连接，依题意，得，结合面面垂直的性质以及线面垂直的性质得到，利用线面垂直的判定定理证得结果；
（III）利用线面角的平面角的定义得到为直线与平面所成的角，放在直角三角形中求得结果.
【详解】（I）证明：连接，易知，，
又由，故，又因为平面，平面，
所以平面.
（II）证明：取棱的中点，连接，依题意，得，
又因为平面平面，平面平面，
所以平面，又平面，故，
又已知，，所以平面.
（III）解：连接，由（II）中平面，
可知为直线与平面所成的角.
因为为等边三角形，且为的中点，
所以，又，
在中，，
所以，直线与平面所成角的正弦值为.
【点睛】本小题主要考查直线与平面平行、直线与平面垂直、平面与平面垂直、直线与平面所成的角等基础知识，考查空间想象能力和推理能力.
18.【分析】（I）首先设出等差数列的公差，等比数列的公比，根据题意，列出方程组，求得，进而求得等差数列和等比数列的通项公式；
（II）根据题中所给的所满足的条件，将表示出来，之后应用分组求和法，结合等差数列的求和公式，以及错位相减法求和，最后求得结果.
【详解】（I）解：设等差数列的公差为，等比数列的公比为，
依题意，得，解得，
故，，
所以，的通项公式为，的通项公式为；
（II）
，
记①
则②
②①得，，
所以
.
【点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及前项和公式等基础知识，考查数列求和的基本方法和运算求解能力，属于中档题目.
19.【详解】（I）解：设椭圆的半焦距为，由已知有，
又由，消去得，解得，
所以，椭圆的离心率为.
（II）解：由（I）知，，故椭圆方程为，
由题意，，则直线的方程为，
点的坐标满足，消去并化简，得到，
解得，代入到的方程，解得，
因为点在轴的上方，所以，
由圆心在直线上，可设，因为，
且由（I）知，故，解得，
因为圆与轴相切，所以圆的半径为2，
又由圆与相切，得，解得，所以椭圆的方程为：.
【点睛】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、圆等基础知识，考查用代数方法研究圆锥曲线的性质，考查运算求解能力，以及用方程思想、数形结合思想解决问题的能力.
20.【分析】（I）；首先写出函数的定义域，对函数求导，判断导数在对应区间上的符号，从而得到结果；（II）（i）对函数求导，确定函数的单调性，求得极值的符号，从而确定出函数的零点个数，得到结果；（ii）首先根据题意，列出方程组，借助于中介函数，证得结果.
【详解】（I）解：由已知，定义域为，
且，
因此当时，，从而，
所以在内单调递增.
（II）证明：（i）由（I）知，，
令，由，可知在内单调递减，
又，且，
故在内有唯一解，
从而在内有唯一解，不妨设为，
则，当时，，
所以在内单调递增；
当时，，
所以在内单调递减，
因此是的唯一极值点.
令，则当时，，故在内单调递减，
从而当时，，所以，
从而，
又因为，所以在内有唯一零点，
又在内有唯一零点1，从而，在内恰有两个零点.
（ii）由题意，，即，
从而，即，
以内当时，，又，故，
两边取对数，得，于是，整理得，
【点睛】本小题主要考查导数的运算、不等式证明、运用导数研究函数的性质等基础知识和方法，考查函数思想、化归与转化思想，考查综合分析问题和解决问题的能力.
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