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如何讲综合题:从策略到方法再到模型

2020-02-26  wlr6688

考试解题比平时做题难度要大,特别是综合性问题。难在知识指向不明,记忆提取困难,方法选择生涩。这就需要在教学中教给学生一般性的策略以为纲领,统率贯通各种思路方法和知识模型,使解题过程更自然顺畅。

学生平时做题与考试解题是不同的,区别在于:

1.知识指向的明与昧:平时所做习题一般是应用当天教学的相关知识解决问题,而考试时可能应用所学进的所有知识。

2.记忆提取的易与难:平时做题因为应用的是老师刚刚所教的知识或同类型的问题,容易从记忆中提取相关信息解题,而考试题所涉内容范围广,不易快速提取到所需信息。

3.方法选择的生与疏:平时做题因所用方法套路刚刚学过比较熟悉,所以容易想到,而考试时由于时间已久,即使以前会的方法也变得生疏。

综上,要教会学生解题时用一般性的策略为纲领,统率各种思路方法和知识模型,使思维过程融为一体自然顺畅。

例1.四边形ABCD中,E为AD的中点, ∠A=105°, ∠D=120°, AF=3, DG=2√2, ∠FEG=90°, 求FG的长.

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

讲析过程:

(1)析题意:

看完条件,你有什么感觉?有没有想到什么明确的思路?此题条件有何特点?

[感觉难以下手,进退维谷,原因是条件分散孤立,两条已知线段和一条所求线段及两个已知角分布在三个三角形中,找不到明确的联系。]

(2)定策略:

出现条件孤立分散不易联系这种情况的时候,我们有什么策略对付它?

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[很显然,我们应采取运动变换(以动破静)的策略使它们产生联系。]

(3)选方法:

有哪些常用的运动变换方法?本题适合什么运动方式呢?

[常用变换:平移、翻折、旋转、缩放,本题有共点等线(中点)的条件,可以选择等线所在图形(一般是三角形)绕共点旋转180度的方法变换。]

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(4)建模型:(所有的数学知识和方法都可以看成模型)

选择一个图形进行旋转画图,观察变换后构造了什么模型?

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(把AF、FG运动到DG处构成可解三角形DPG)

[如上图,旋转ΔAEF至ΔDEP后,所有条件都集中到ΔPDG中,FG=PG,DP=AF=3,∠PDG=360°-105°-120°=135°,求PG即可。构成了已知两边夹角的三角形模型,用解直角三角形知识可以解决。]

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根据对称原理,还可以采取什么方法构造此模型?

[根据对称原理,动AF、FG到DG处可以成功,同样动DG、FG到EF处也可以,或动EF、EG到FG处也应成立。如下图]

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

(把DG、FG动到AF处构成可解三角形APF)

注意到上面两种方法中,AF、DG是旋转180度的,而FG都是相当于翻折变换的,由对称原理,能不能把AF、DG进行翻折变换呢?如下图。

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(把AF、DG动到FG处构成可解三角形PFG)

例2.(2017泰州卷)阅读理解:

如图①,图形l外一点P与图形l上各点连接的所有线段中,若线段PA1最短,则线段PA的长度称为点P到图形l的距离.

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

例如:图②中,线段P1A的长度是点P1到线段AB的距离;线段P2H的长度是点P2到线段AB的距离.

解决问题:

如图③,平面直角坐标系xOy中,点A、B的坐标分别为(8,4),(12,7),点P从原点O出发,以每秒1个单位长度的速度向x轴正方向运动了t秒.

(1)当t=4时,求点P到线段AB的距离;

(2)t为何值时,点P到线段AB的距离为5?

(3)t满足什么条件时,点P到线段AB的距离不超过6?(直接写出此小题的结果)

讲析过程:

(1)析题意:

所求P点是未知点,需要怎样才能确定?

[需要根据它所满足的条件确定,即根据点到线段的距离的定义所规定的数量关系确定。]

(2)定策略:

P点是待求的、不确定的点,要想清晰地、不遗漏地定位它,可以采取什么策略?

[可以用“以静制动”的策略把不确定的点位置固定下来并呈现于眼前,以便直观快捷地确定它。]

(3)选方法:

本题适合用什么方法来定位未知点?

[用“轨迹定位法”,根据定义可画出满足条件的P点轨迹,再找不同条件所得轨迹的交点,如下图。]

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(根据题中定义画出绿线即是点P轨迹)

双轨定位:轨迹1是定义所得的绿线,轨迹2是题中要求P在x轴上,取两轨相交点P1、P2即得。

(4)建模型:

下面很简单,用勾股定理模型即可解决。如下图,易得t=5或11.

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

第三问的方法和模型类似如下:

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

符合要求的P点范围是图中绿色区域与x轴的公共部分,再建立如下的相似模型可解决。

如何讲综合题:从策略到方法再到模型

遵循认知和思维的科学方式,由宏观到微观,由模糊到清晰,由整体到细节,如此讲题可以让学生更深刻地理解解题的思路过程,更合理地运用解题的策略方法,更顺畅而有逻辑地思考和解决问题。

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