巧用数学思想来解与二次函数有关的问题

本节主要来介绍下巧用数学思想来解与二次函数有关的问题 .

一、数形结合思想

【例题1】如图，已知二次函数 y1=﹣x2 + 13/4 x + c 的图象与 x 轴的一个交点为 A（4，0），

与 y 轴的交点为 B，过 A、B 的直线为 y2 = kx + b．

（1）求二次函数 y1 的解析式及点 B 的坐标；

（2）由图象写出满足 y1＜y2 的自变量 x 的取值范围；

（3）在两坐标轴上是否存在点 P，使得 △ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形？

若存在，求出 P 的坐标；若不存在，说明理由．

【答案与解析】

解：

（1）将 A（4，0）代入 y1，得 ﹣16 + 13 + c = 0．

解得 c = 3，

∴ 二次函数 y1 的解析式为 y=﹣x2 + 13/4 x + 3，

∴ B 点坐标为（0，3）；

（2）由图象得直线在抛物线上方的部分是 x＜0 或 x＞4，

∴ x＜0 或 x＞4 时，y1＜y2；

（3）直线 AB 的解析式为 y=﹣3/4 x + 3，

AB 的中点为（2，3/2）,

AB 的垂直平分线为 y = 4/3 x﹣7/6 ,

当 x = 0 时，y =﹣7/6，P1（0，﹣7/6），

当 y = 0 时，x = 9/4，P2（7/8，0），

综上所述：P1（0，﹣7/6），P2（7/8，0），使得 △ABP 是以 AB 为底边的等腰三角形．

【点评】

本题考察了二次函数综合题，

（1）利用待定系数法求函数解析式；

（2）利用函数与不等式的关系求不等式的解集；

（3）利用线段垂直平分线的性质，利用直线 AB 得出 AB 的垂直平分线是解题关键．

二、函数与方程思想

【例题2】某体育用品店购进一批单件为 40 元的球服，如果按单价 60 元销售样，

那么一个月内可售出 240 套，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，

即销售单价每提高 5 元，销售量相应减少 20 套．

设销售单价为 x（x ≧ 60）元，销售量为 y 套．

（1）求出 y 与 x 的函数关系式；

（2）当销售单件为多少元时，月销售额为14000 元？

（3）当销售单价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？最大利润是多少？

【答案与解析】

解：

（1）销售单价为 x 元，则销售量减少 1/5（x - 60）× 20，

故销售量为 y = 240﹣ 1/5（x - 60）× 20 =﹣4x + 480（x ≥ 60）；

（2）根据题意可得，x（﹣4x + 480）= 14000，

解得 x1 = 70，x2 = 50（不合题意舍去），

故当销售价为 70 元时，月销售额为 14000 元；

（3）设一个月内获得的利润为 w 元，根据题意得：

w =（x﹣40）（﹣4x + 480）

=﹣4x2 + 640x﹣19200

=﹣4（x﹣80）2 + 6400．

当 x = 80 时，w 的最大值为 6400．

故当销售单价为 80 元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润是 6400 元．

【点评】

本题考查了函数模型的选择与应用，考查了数学建模思想方法，关键是对题意要正确理解.

三、分类讨论思想

【例题3】若函数

则当函数值 y＝8 时，自变量 x 的值是 ( )．

A．±√6 B．4 C．±√6 或 4 D．4 或 -√6

【思路点拨】

此题函数是以分段函数的形式给出的，当 y＝8 时，求 x 的值时，注意分类讨论 .

【答案】D；

【解析】

由题意知，当 x2 + 2 = 8 时，x = ±√6．而 √6 > 2，

∴ x = - √6 ．x = √6 (舍去)．

当 2x＝8 时，x＝4．

综合上知，选 D．

【点评】

正确的分类必须是周全的，既不重复、也不遗漏．

【例题4】已知抛物线 C1：y＝ax2＋4x＋c 与 x 轴交于 M(－4，0) 和 N 两点，

且抛物线过点 A(－2，－4)．

(1) 求抛物线 C1 的表达式；

(2) 抛物线 C2 与抛物线 C1 关于直线 x＝m ( m ≠ －2 ) 对称，点 M 的对应点为 P，

若 △AMP 是等腰三角形，求 m 的值及抛物线 C2 的表达式．

【参考答案】

解：

(1) ∵ 抛物线 C1：y＝ax2＋4x＋c 过点 M(－4，0) 和点 A(－2，－4)，

∴ 抛物线 C1 的表达式为 y＝x2＋4x；

(2) 令 x2＋4x＝0，解得 x1＝0，x2＝－4，

∴ 点 N 的坐标为 (0，0)．

易得抛物线 C1 的对称轴为直线 x＝－2，且点 A(－2，－4) 为抛物线 C1 的顶点．

若 △AMP 是等腰三角形，分为以下三种情况：

如解图，设点 P 的坐标为 (x，0)，

① 当 AM＝AP1 时，

∵ 点 M 与点 P1 关于直线 x＝－2 对称，

∴ 直线 x＝m 与抛物线 C1 的对称轴 x＝－2 重合，

∵ m ≠－2，此时不符合题意，故舍去；

② 当 MP2＝AP2 时，有 (x＋4)2＝(x＋2)2＋16，

解得 x＝1，

∴ P2(1，0)，

∴ m＝1/2 (－4＋1)＝－3/2 .

∴ 顶点 A 关于直线 x＝－3/2 对称的点为 A1(－1，－4) ，

∴ 抛物线 C2 的表达式为 y＝(x＋1)2－4；

③ 当 MP3＝AM，MP4＝AM 时，有 (x＋4)2＝2^2＋4^2，

解得 x＝－4 ± 2√5，

∴ P3(－4－2√5，0)，P4(－4＋2√5，0)，

∴ m＝－4 ± √5，

∴ 顶点 A 关于直线 x＝－4＋√5，x＝－4－√5 的对称点分别为 :

A2(－6＋2√5，－4)，A3(－6－2√5，－4)，

∴ 抛物线 C2 的表达式为 y＝( x＋6－2√5 )2－4 或 y＝( x＋6＋2√5 )2－4.

综上所述，当 △AMP 是等腰三角形时，

m 的值为－3/2，－4＋√5 或－4－√5，

此时抛物线 C2 的表达式分别为 y＝(x＋1)2－4 或 y＝(x＋6－2√5)2－4 或 y＝(x＋6＋2√5)2－4.