专题57立体几何直线、平面的平行的判定与性质1
【考点讲解】
具本目标：
1.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理.
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
理解以下性质定理，并能够证明.
◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
考点透析：以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.
3.备考重点：
(1)掌握相关定义、公理、定理；(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.
（3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成比例线段
二、知识概述：
直线与平面平行的判定与性质
判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝? a?α，b?α，a∥b a∥α a∥α，a?β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝? a∥b 面面平行的判定与性质
判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝? a?β，b?β，a∩b＝P，
a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，
β∩γ＝b α∥β，a?β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 线面、面面平行的综合应用
1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：aα，bα，且a∥b?a∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；aα?a∥β.
3．直线和平面平行的性质定理：a∥α，aβ，α∩β＝l?a∥l.
4．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：aα，bα，a∩b＝M，a∥β，b∥β?α∥β；
(3)推论：a∩b＝M，a，bα，a′∩b′＝M′，a′，b′β，a∥a′，b∥b′?α∥β.
5．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，aα?a∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a，γ∩β＝b?a∥b.
6．与垂直相关的平行的判定
(1)a⊥α，b⊥α?a∥b；
(2)a⊥α，a⊥β?α∥β.
【真题分析】
1.【2015全国2】设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为，是两个不同的平面，是直线且．若“”，则平面可能相交也可能平行，不能推出，反过来若，，则有，则“”是“”的必要而不充分条件，故选B.
【答案】B
2.【2017优选题】设是空间中不同的直线，是不同的平面，则下列说法正确的是（）
A.，则B.，则
C.，则D.，则
【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。由于可能出现，所以A错。两平面平行，要与第三平面相交，才能推出两交线平行，B选项不符，所以B错。线面平行，需与过直线的平面与已知平面的交线平行，所以C错。D中，两平面平行，则一平面中的任一直线与另一平面平行。D对。选D.
【答案】D
3.【2018优选题】空间中，设表示不同的直线，表示不同的平面，则下列命题正确的是（）
A.若，则B.若，则
C.若，则D.若，则
【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.
A项，若，过正方体同一顶点的三个平面分别为，则，故A项不合题意；
B项，若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则，故B项符合题意；
C项，若，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故C项不合题意；
D项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m在平面内或平行，故D项不合题意.
故选B.
【答案】B
4.【2016全国课标2】α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：
①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β.②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n.
③如果α∥β，mα，那么m∥β.
④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等.
其中正确的命题有.(填写所有正确命题的编号）
【解析】对于①，，则的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为，所以过直线作平面与平面相交于直线，则，因为，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.
【答案】②③④
5.【2016课标3】如图，四棱锥D中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
【分析】（I）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（II）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．本题考点直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积.
【解析】（I）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，为的中点，所以到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积.
6.【2016江苏】如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且，.
求证：（1）直线DE平面A1C1F；（2）平面B1DE⊥平面A1C1F.
（第6题）
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
【解析】证明：（1）在直三棱柱中，
在三角形ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，
所以，于是，
又因为DE平面平面，
所以直线DE//平面.
（2）在直三棱柱中，.因为平面，所以，
又因为，所以平面.
因为平面，所以.
又因为，所以.
因为直线，所以
7.【2016山东理】在如图所示的圆台中，AC是下底面圆O的直径，EF是上底面圆O的直径，FB是圆台的一条母线.
（I）已知G,H分别为EC，FB的中点，求证：GH∥平面ABC；
（II）已知EF=FB=AC=，AB=BC.求二面角的余弦值.
【分析】
（I）根据线线、面面平行可得与直线GH与平面ABC平行；（II）解法一建立空间直角坐标系求解；解法二找到为二面角的平面角直接求解.
【解析】
（I）证明：设的中点为,连接,
在,因为是的中点，所以
又所以
在中，因为是的中点，所以，
又,所以平面平面，
平面，所以平面.
（II）解法一：连接,则平面，
又且是圆的直径，所以
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
由题意得，，过点作于点，所以
可得
故.
设是平面的法向量.
由可得可得平面的一个法向量
因为平面的一个法向量所以.
所以二面角的余弦值为.
解法二：连接，过点作于点，
则有,又平面，
所以FM⊥平面ABC,可得
过点作于点，连接，可得,
从而为二面角的平面角.
又,是圆的直径，所以
从而，可得
所以二面角的余弦值为.
【模拟考场】
1.已知直线和平面，满足.则“”是“”的（）
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】若，，由线面平行的判定定理可得，若，，与，可以是异面直线，“”是“”的充分而不必要条件，故选A.
【答案】A
2.下列命题正确的是（）
A.若一直线与两个平面所成角相等，则这两个平面平行
B.若一条直线平行于两个相交平面，则这条直线与这两个平面的交线平行
C.若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行
D.若两条直线和同一个平面平行，则这两条直线平行
【解析】对于答案A，这两个平面可以相交，因此答案不正确；对于答案C，这两个平面也可以相交，因此答案也不正确；对于答案D，这两条直线也可以相交或异面，因此答案也不正确；故应选答案B.
【答案】B3.设表示直线表示不同的平面，则下列命题中正确的是（）
A．若且，则B．若且，则
C．若且，则D．若且，则
【解析】A：应该是或；B：如果是墙角的三个面就不符合题意；C：，若时，满足，，但是不正确，所以选D.
【答案】D
4.对于两条不同的直线m，n和两个不同的平面，以下结论正确的是
A.若，∥，m，n是异面直线，则相交
B.若，，∥，则∥
C.若，∥，m，n共面于β，则m∥n
D.若，n⊥β，α，β不平行，则m，n为异面直线
【解析】解：正方体中，取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；
取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；
取为棱，平面为，满足选项中的条件，但是，选项错误；
【答案】C
5.设平面、，直线、，，，则“，”是“”的（）
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
【解析】由平面与平面平行的判定定理可知，若直线、是平面内两条相交直线，且有“，”，则有“”，当“”，若，，则有“，”，因此“，”是“”的必要不充分条件.选B.
【答案】B
6.【2017届云南省曲靖市第一中学高三第六次月考】已知是两条不同的直线，是平面，则下列命题中是真命题的是（）
A.若，，则B.若，，则
C.若，，则D.若，，则
【解析】对于答案A，有的可能，故不是真命题；对于答案C，直线也可以与平面
相交，不是真命题；对于答案D中的直线，有的可能，故不是真命题，应选答案B。
【答案】B
7.在如图所示的空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB，BC，CD，AD的中点，则图中线面平行关系有（）
A．2对B．4对C．6对D．8对
【解析】由中位线的性质知，EH∥FG，EF∥HG，故四边形EFGH是平行四边形，且AC∥平面EFGH，BD∥平面EFGH．由EF∥GH，EF?平面ACD，GH?平面ACD，∴EF∥平面ACD，
同理，GH∥平面ABC，EH∥平面BCD，FG∥平面ABD，故共有6对线面平行关系．故选C．
【答案】C
8.如图，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点．
(1)求证：MN∥平面PAD；
(2)若MN＝BC＝4，PA＝，求异面直线PA与MN所成的角的大小．
【解析】(1)取PD的中点H，连接AH，NH，
∵N是PC的中点，∴NHDC..
∵M是AB的中点，且DCAB，∴NHAM，即四边形AMNH为平行四边形．
∴MN∥AH.
又MN?平面PAD，AH?平面PAD，
∴MN∥平面PAD.
(2)连接AC并取其中点O，连接OM、ON，
则OMBC，ONPA.
∴∠ONM就是异面直线PA与MN所成的角，
由MN＝BC＝4，PA＝，得OM＝2，ON＝.
∴MO2＋ON2＝MN2，∴∠ONM＝30°，
即异面直线PA与MN成30°的角．
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