专题16导数及其应用导数的概念及运算
【考点讲解】
具本目标：1.导数概念及其几何意义了解导数概念的实际背景理解导数的几何意义2.导数的运算的导数；
(2)能利用下面给出的基本初等函数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.
【考点透析】1.求切线方程确定切点坐标问题1)熟练掌握基本初等函数的导数公式及导数的四则运算法则；
(2)熟练掌握直线的倾斜角、斜率及直线方程的点斜式.
二、知识概述：
1．由可以知道，函数的导数是函数的瞬时变化率，函数的瞬时变化率是平均变化率的极限.
2.基本初等函数的导数公式导数的运算法则
原函数 导函数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 基本初等函数的导数公式
2导数的运算法则
（1）[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；（2）[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；（3）(g(x)≠0)．(4)复合函数的导数
复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．
函数在处的导数几何意义
函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点(x0，f(x0))处的切线的斜率(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)．
1.求函数图象上点处的切线方程的关键在于确定该点切线处的斜率，由导数的几何意义知，故当存在时，切线方程为.
.可以利用导数求曲线的切线方程，由于函数在处的导数表示曲线在点处切线的斜率，因此，曲线在点处的切线方程，可按如下方式求得：
第一，求出函数在处的导数，即曲线在点处切线的斜率；
第二，在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程；如果曲线在点处的切线平行于y轴(此时导数不存在)时，由切线的定义可知，切线的方程为.
已知函数,其中a为实数,为的导函数,若,则a的值为．
【答案】3
，则（）
A．B．C．D．
【解析】本题主要考查导数的运算法则，所以，解得，故选C．
【答案】C
2.【】曲线在点处的切线的斜率为，则________
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，则，所以故答案为-3.
【答案】
的图像在点的处的切线过点，则.
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义，∴，即切线斜率，∴切点为），∵切线过（2,7），∴，解得．【】曲线在点处的切线方程为__________
【解析】本题主要考查导数的计算和导数的几何意义先求导数，再根据导数几何意义得切线斜率，最后根据点斜式求切线方程.，切线方程为，即.
【答案】在点处的切线方程为________.
【答案】.
4.【2017福建4月质检】已知定义在上的函数满足，且当时，，则曲线在处的切线方程是__________．
【解析】
.因为，所以函数关于点（1,1）对称，时，取点，关于（1,1）对称点是代入时，，可得，，，令所以切线方程为【答案】
为偶函数，当时，，则曲线在处的切线方程式_____________________________.
【解析】考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义．
当时，，则．又因为为偶函数，所以，
所以，则切线斜率为，所以切线方程为，即．
【答案】
【变式】（2）【2016高考新课标3理数】已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是_______________．
【答案】
【变式】（3）【2015高考陕西，文15】函数在其极值点处的切线方程为____________.
【解析】本题考点是函数的极值与导数的几何意义.，令，此时.函数在其极值点处的切线方程为.
【答案】
5.【2015新课标2文16】已知曲线在点处的切线与曲线相切,则a=．
【解析】本题主要考查导数的几何意义及直线与抛物线相切问题C.
4.设曲线在点处的切线与直线垂直，则．
【解析】由已知可知曲线的切线斜率为2，又，
【答案】2
曲线过点处的切线方程是_____________.
【答案】
6.曲线在点处的切线方程为.
【解析】，所求切线的斜率为，
故所求切线的方程为，即或.
【答案】或.
7.己知曲线存在两条斜率为3的切线，且切点的横坐标都大于零，则实数a的取值范围为．
【解析】由题意可知原三次函数的导函数是二次函数，并且曲线存在两条斜率为3的切线，说明导函数有两个零点，，方程有有两个不等正实根，所以有，并且有，可得.
【答案】
某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为，山区边界曲线为C，计划修建的公路为l，如图所示，M，N为C的两个端点，测得点M到的距离分别为5千米和40千米，点N到的距离分别为20千米和2.5千米，以所在的直线分别为x，y轴，建立平面直角坐标系xOy，假设曲线C符合函数（其中a，b为常数）模型.
（1）求a，b的值；
（2）设公路l与曲线C相切于P点，P的横坐标为t.
①请写出公路l长度的函数解析式，并写出其定义域；
②当t为何值时，公路l的长度最短？求出最短长度.
试题解析：（1）由题意知，点，的坐标分别为，．
将其分别代入，得，解得．
（2）①由（1）知，（），则点的坐标为，
设在点处的切线交，轴分别于，点，，
则的方程为，由此得，．
故，．
②设，则．令，解得．
当时，，是减函数；
当时，，是增函数．
从而，当时，函数有极小值，也是最小值，所以，
此时．
答：当时，公路的长度最短，最短长度为千米．
【答案】（1）（2）①定义域为，②千米
9.已知函数的导函数为偶函数，且曲线在点处的切线的斜率为.
（Ⅰ）确定的值；（Ⅱ）若，判断的单调性；
（Ⅲ）若有极值，求的取值范围.
因为是偶函数，所以，又曲线在点处的切线的斜率为，所以有，利用以上两条件列方程组可解的值；
（Ⅱ）由（Ⅰ），，当时，利用的符号判断的单调性；
（Ⅲ）要使函数有极值，必须有零点，由于，所以可以对的取值分类讨论，得到时满足条件的的取值范围.
试题解析：（Ⅰ）对求导得，
由为偶函数，知，即，
因为，所以.又，故.
（Ⅱ）当时，，那么
故在上为增函数.
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，而，当时等号成立.
下面分三种情况进行讨论.
当时，对任意，此时无极值；
当时，对任意，此时无极值；
当时，令，注意到方程有两根，
即有两个根或.
当时，；又当时，从而在处取得极小值.
综上，若有极值，则的取值范围为.
|
|
