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晚上我看到家里餐桌上有一张纸，上面写的是太太教孩子们如何计算病毒的扩散数量。纸的右上角有一个数字134，我仔细看了一下纸上的图画，猜测应该是1+2+4+8+16+32+64加总得到的结果。我看完脱口而出：“这个答案是不对的。”太太说她是计算器按出来的，不太可能会错。因为看我很肯定的样子，所以太太又拿计算器去验证了一下，发现确实算错了，正确的答案应该是127。 这其实是一个非常简单的问题，我和太太说：“我不仅知道答案错了，而且还知道准确的数字应该是多少。哪怕按此规律再加下去，我也能立马得到准确答案。”那么，我是如何做到的呢？ 这个问题放上网络后，立马引来了大家围观。很多人都提到了根据“奇偶性”判断答案错了。这个没错，但我是不仅知道错了，而且还知道准确的答案是多少。因此，光判断奇偶性是远远不够的。 接着，很多网友提出用等比数列求和，说答案肯定是2n-1。这个也没错，但这个不适合讲给小孩子听。还有人提出，可以在最前面加一个“1”，也就是将算式变为1+1+2+4+8+16+32+64-1。为什么这么处理呢？道理很简单。推理过程如下： 1+1+2+4+8+16+32+64-1 =2+2+4+8+16+32+64-1 =4+4+8+16+32+64-1 =8+8+16+32+64-1 =16+16+32+64-1 =32+32+64-1 =64+64-1 =128-1 =127。 还有其他的解法，比如还有人提出用二进制思考的，等等。大家提到的这些方法都对，不再一一罗列了。但我的问题是：为什么这个加法算式最终的答案为是2n-1？如何让孩子们能更好地理解这个问题？或者说，如何能让孩子们将这个算式与生活中的真实例子相关联起来，从而把问题想得更加简单？ 其实，我想问的问题是：生活中有什么例子的计算过程是符合这个算式的形式的？ 有一个非常好的例子：如果有128名羽毛球运动员进行淘汰赛，赢的人晋级下一轮，输的人直接淘汰，直至决出最后的一名冠军。请问总共需要进行多少场比赛？ 很明显，按照淘汰赛的要求，第一轮要进行64场比赛，第二轮进行32场比赛，第三轮进行16场比赛，第四轮进行8场比赛，第五轮进行4场比赛，第六轮进行2场比赛，第七轮进行1场比赛；总共需要64+32+16+8+4+2+1=127场比赛。 至此，我们把算式转移到了一个真实的案例中。但截至目前，我们还是没有解决如何快速计算这个算式的问题。那么，这个问题应该如何去思考呢？大家想想看，关于64+32+16+8+4+2+1=127场比赛这个算式，我们是不是站在晋级者的角度来考虑问题的？那么问题能不能反过来思考呢？ 答案是可以的。每一场比赛，有一名选手晋级，那势必会有一名选手会被淘汰。有人会说：“这不是废话嘛！淘汰赛的要求本来就是这样的啊！”没错，这就是淘汰赛的要求。但很多人可能没想过的问题是，由于每一场比赛会有一名选手淘汰，而这全部的128名选手最后只有冠军是没有被淘汰的，那么总比赛场数是不是等于128-1=127场呢？ 是不是很简单啊？我们既不需要等比数列计算公式，也不需要特别的计算技巧，有的只是把问题反转过来思考。 如何思考问题是大部分人学数学时应该学习的东西，而不只是学会解题技巧。有时数学直觉的培养，对大部分人而言更加重要。 |
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