小学数学奥林匹克竞赛模拟题第二部分五节
五、平方米
习题五
1、证明:如果有整数a,b,c使得等式a2+b2=c2,那么a,b,c三数中至少有一个必是5的倍数。
2、证明:如果有整数a,b,c使得等式a2+b2=c2,又已知5不整除c,但3整除c。那么a、b中必有一个数是15的倍数。
3、是否有整数x,y使得等式x2-y2=4990成立?
4、如果a和b都是奇数,5a2-2b2能是平方数吗?
5、下列各数能否是平方数?
(1)(99…9)2(1991个9)-4×1234512345…12345(50个12345)
(2)5432154321……(1991位数);
(3)5432154321…54321(1991个54321)。
6、如果一个整数被12除余5,它能不能是一个平方数?
7、对什么样的自然数n,n2+n=2(1)能被4整除?(2)能被8整除?(3)能被15整除?
8、证明:3个连续奇数的平方和加上1所得到的数能被12整除,但不能被24整除。
9、证明:不存在整除x、y使等式2x2-52=7成立。
10、证明:不存在整数x,y使等式x2-3y2=41成立。
11、证明:任何5个连续整数的平方和不可能是平方数。
12、已经知道一个平方数的十位数字是7,那么这个平方数的个位数字是多少?
13、一个平方数的末尾能有几个4?
14、能不能找到6个整数,a,b,c,d,e,f,使a4+b2+c4+d4+e4+f4=1991成立呢?
15、设p是大于3的质数,证明p2-1能被24整除。
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