专题02函数与导数小题部分
【训练目标】
理解函数的概念，会求函数的定义域，值域和解析式，特别是定义域的求法；
掌握函数单调性，奇偶性，周期性的判断方法及相互之间的关系，会解决它们之间的综合问题；
掌握指数和对数的运算性质，对数的换底公式；
掌握指数函数和对数函数的图像与性质；
掌握函数的零点存在定理，函数与方程的关系；
熟练数形结合的数学思想在解决函数问题的运用；
熟练掌握导数的计算，导数的几何意义求切线问题；
理解并掌握导数与函数单调性之间的关系，会利用导数分析函数的单调性，会根据单调性确定参数的取值范围；
会利用导数求函数的极值和最值，掌握构造函数的方法解决问题。
【温馨小提示】
本章内容既是高考的重点，又是难点，再备考过程中应该大量解出各种题型，总结其解题方法，积累一些常用的小结论，会给解题带来极大的方便。
【名校试题荟萃】
1、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三上学期12月三校联考）已知函数
，若，则．
【答案】
【解析】问题等价于；，无解。
2、（福建省“永安一中、德化一中、漳平一中”2019届高三上学期12月三校联考）已知函数的图像在点处的切线与直线平行，则实数
D．
【答案】A
【解析】由于，根据导数的几何意义及两直线平行的条件可知
。
3、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）函数的图象可能是()
【答案】D
【解析】先由判断函数的奇偶性可知函数为奇函数，图像关于原点对称，排除A,B；当
，排除C，故选D。
4、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是减函数，记，，，则（）
A．B．C．D．
【答案】B
5、（福建省上杭县第一中学2019届高三上学期期中考试）已知定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集是()
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】构造函数，求导结合可知函数在定义域为减函数，不等式可化为
，等价于
，解得结果为。
6、（湖南省衡阳市第八中学2019届高三上学期第四次月考试题）已知函数，若，使得成立，则实数的取值范围是（）
A． B． C． D．
7、（江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考试题）已知函数f(x)是定义在R上的函数，且当x0时，．若f(a)＜4＋f(a)，则实数a的取值范围．
【答案】
【解析】取，则，此时，则不等式化为
，解得；
恒成立，故；当时，恒成立；再求三种情况的并集可得。
8、（江苏省南京市六校联合体2019届高三上学期12月联考试题）已知函数.若对
任意的，存在，使得成立，则实数的取值范围是_.
【答案】
9、（江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试）函的定．
【解析】需满足，解得。
10、（江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试）若函数的所有正零点构成公差为的等差数列，则．
【解析】作出函数的图像，结合直线，根据正弦函数的对称性可知
，两式相减可得。
11、（江苏省盐城市2019届高三上学期期中考试）已知函数在上单调递增，则实数的取值集合为．
【解析】转化为在上恒成立，等价于或恒成立，解得。
12、（陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试）函数，有且只有一个零点的充分不必要条件是（）
．或． ．
【答案】D
【解析】由于是函数的一个零点，则不能再有零点，而，故或，显然A是充要条件，D是充分不必要条件。
13、（陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试）若对于任意实数，都有成立，则的最大值为（）
．． ．
【答案】C
14、（陕西省宝鸡市宝鸡中学2019届高三上学期模拟考试）已知函数是上的奇函数，且满足，当时，，则方程在解的个数是知函数是周期为4的周期函数，结合函数是上的奇函数时，，的图像，则问题转化为的图像与的图像在已知函数
，若，则实数的取值范围为（）
A.B.C.D.
【答案】
【解析】函数可化为，由于函数在两端分别为增函数，且，故函数在为增函数，则不等式等价于，解得。
16、（安徽省肥东县高级中学2019届高三11月调研考试数学（理）试题）已知函数，如果当时，若函数的图象恒在直线的下方，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
17、（安徽省肥东县高级中学2019届高三11月调研考试数学（理）试题）已知函数满足，且当时.若在区间内，函数有三个不同零点，则的范围为__________．
【解析】当时，时，则，作出函数图像可知，当直线经过点时是一个临界点，此时，当直线与相切时是另一个临界点，设切点坐标为，根据导数的几何意义可知
，解得，此时，故的取值范围是。
18、（江西省高安中学2019届高三上学期第四次月考（期中）考试数学（理）试题?为正数，且，则下列关系式不可能成立是（）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】由题可知，则，显然当，故选C。
19、（江西省高安中学2019届高三上学期第四次月考（期中）考试数学（理）试题在区间上有两个不同的零点，则实数的取值范围为()
A． B． C． D．
【答案】A
20、（黑龙江省鹤岗市第一中学2019届高三上学期第三次月考已知函数的定义域为则函数的定义域为（）
A．B．C．D．
，解得。
21、（新余四中、上高二中2019届高三第一次联考数学（文）试题?，则的取值范围是（）
A.B.C.D.
【答案】B
22、设为的导函数，已知则下列结论正确的是（）
A.在上单调递增B.在上单调递减
C.在上有极大值D.在上有极小值
【答案】B
【解析】由题可知，则，令，又，易知，求导可得，故函数在为减函数。
23、已知函数为自然对数的底数)与的图象上存在关于轴对称的
点，则实数的取值范围是()
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】原命题等价于与有交点在上有解，在上有零点，
令当时，是减函数，当时，是增函数，又
.
24、（江西省南昌市第二中学2019届高三上学期第四次月考数学（理）试题）若函数在其定义域内的一个子区间内存在极值，则实数的取值范围是．
25、（2019年湖南师大附中月考）已知函数f(x)是定义在R上的奇函数且f(x)在R上单调递增若a成等差数列且b＞0则下列结论正确的是()
A．f(b)＞0且f(a)＋f(c)＞0
(b)＞0且f(a)＋f(c)＜0
(b)＜0且f(a)＋f(c)＞0
(b)＜0且f(a)＋f(c)＜0
【解析】由已知(b)＞f(0)＝0.因为a＋c＝2b＞0则a＞－c从而f(a)＞f(－c)＝－f(c)即f(a)＋f(c)＞0选A.
(2019·石家庄质检)已知函数f(x)＝则f[f(x)]<2的解集为()
A.(1－ln2，＋∞)B.(－∞，1－ln2)
C.(1－ln2，1)D.(1，1＋ln2)
【解析】因为当x≥1时，f(x)＝x3＋x≥2，当x<1时，f(x)＝2ex－1<2，f(f(x))<2等价于f(x)<1，即2ex－1<1.因此x<1－ln2.
定义在R上的奇函数f对任意x都有若x满足不等式≤－f则当1≤x≤4时的取值范围是）
A.B.
C.D.
【答案】D
28、（2019湖南师大调研理）设x分别是函数f(x)＝x－a－x和g(x)＝x－1的零点(其中a>1)则x＋4x的取值范围是()
A．[4，＋∞)．4，＋∞)．[5＋∞)．(5＋∞)
【解析】由f(x)＝x－a－x＝0得a＝；
由g(x)＝x－1＝0得＝；
因为函数y＝a与y＝互为反函数图像关于直线y＝x对称
由得不妨设x由图得x＋x且x
所以x＋4x＝x＋x＋3x故答案选
29、（2019宜春中学调研）已知函数f(x)在定义域R上的导函数为f′(x)，若函数y＝f′(x)没有零点，且f[f(x)－2017x]＝2017，当g(x)＝sinx－cosx－kx在上与f(x)在R上的单调性相同时，则实数k的取值范围是()
(A)(－∞，－1](B)(－∞，](C)[－1，](D)[，＋∞)
【答案】A
又g(x)与f(x)的单调性相同，∴g(x)在上单调递增，则当x∈，g′(x)≥0恒成立，当x∈时，x＋∈，sin∈，
sin∈[－1，]，此时k≤－1，故选A.
30、已知函数f(x)＝x3＋ax2－9x＋b的图象关于点(1，0)对称，且对满足－1≤sf(t)，则实数m的最大值为()
A.1B.2C.3D.4
【答案】C
【解析】由f(x)＋f(2－x)＝0得a＝－3，b＝11，故f(x)＝x3－3x2－9x＋11，
令f′(x)＝3(x2－2x－3)≤0，解得f(x)的单调递减区间为(－1，3)，故mmax＝3，选C.
31、偶函数满足，当时，，不等式在上有且只有200个整数解，则实数的取值范围是（）
A.B.
C.D.
【答案】C
【解析】由得函数图象的对称轴为，故；
又，∴，∴函数的周期为．
作出函数在一个周期上的图象（如图所示）．
∵函数为偶函数，且不等式在上有且只有200个整数解,
∴不等式在上有且只有100个整数解．∵函数在内有25个周期，
∴函数在一个周期内有4个整数解，即在内有4个整数解．
又，
∴，解得，
故实数的取值范围是．
32、（湖南省长沙市雅礼中学2019届高三上学期月考一数学（理）试题?）若函数且）的值域是［4，＋∞），则实数的取值范围是
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】当时，，
要使得函数的值域为，只需的值域包含于，
故，所以，
解得，
所以实数的取值范围是.
2019届高三上学期月考二数学（理）试题?）已知表示不大于的最大整数，若函数在上仅有一个零点，则的取值范围为（）
A.B.
C.D.
【答案】D
由，可得
求得
则的取值范围是。
34、（衡水中学2019届月考）已知函数，，在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，则求的取值范围()
A.B.C.D.
C
【解析】函数，，
在其共同的定义域内，的图象不可能在的上方，当时，∴恒成立，化为：，即；
令，（），．
令，，
函数在单调递增，
∴时，，函数单调减函数，时，，函数单调增函数，所以，∴，故选C.
已知函数，，若与的图象上存在关于直线对称的点，则实数的取值范围是_____________.
若直线经过点，则，若直线与相切，
设切点为则，解得
∴，故答案为.
的图象大致为（）
【答案】A
【解析】因为，在上递减，在上递增，故选A.
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