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一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

 东海之子aefi7b 2020-03-02

如果在你的面前摆着一台运行着的唱片机,想要知道唱片的旋转情况,你就需要知道转盘的半径、转速等信息,现在假设已经知道了上述信息,此时让我们考虑一个简单的问题:

唱片的周长是多少呢?

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

这个问题是多么的简单,以至于我们只需要知道唱片的半径就行,脱口而出:周长等于2πr

那如果唱片旋转起来呢?

回答道:旋转起来也是一样的结果,难不成唱片的周长还会有变化?除非这个唱片的转速非常快,导致唱片碎掉(对于唱片机来说,不可能有这么高的转速)。

问:我们现在就假设这个唱片是用了某种特殊材质制作而成,可视为刚体,这种情况下,旋转唱片的周长是多少呢?

回答:仍旧是原先的答案,旋转与否都不影响唱片周长的大小。

上述回答是建立在我们熟知的牛顿力学基础上的,不过大家要注意一点,如果唱片的速度极快,相对论效应已无法忽视,那么结果又是怎样呢?

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

实际上关于这个问题的相关资料可以追溯到1909年,德国的《物理杂志》上有一篇名为《刚体的匀速转动与相对论》的论文,论文的作者是物理学家保罗·埃伦费斯特(也是爱因斯坦的好友)。

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

论文的内容并不复杂,就是针对当时才问世4年的狭义相对论所提出的一些疑惑,在论文中保罗·埃伦费斯特设计了这样一个思想实验。

假设存在一个匀速转动的圆盘,我们在这个圆盘的边缘摆满量尺(设想这个圆盘很大,而量尺很短,这样一来就可以将圆盘的圆周长用量尺的数量表现出来),试问转盘的周长是多少?

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

如果考虑狭义相对论的尺缩效应,那么转盘周长一定不等于静止时的周长,而如此一来,利用周长和直径之比得出的圆周率也就不一样了,那么这意味着什么呢?是说明狭义相对论出了什么问题吗?

首先可以肯定的一点是,按照牛顿力学,周长是一个不变量,因此这个问题能够出现的原由就是狭义相对论,那么基于光速不变原理和狭义相对性原理这两条原理建立起来的狭义相对论到底在这件事上发挥了什么作用的呢?

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

对于这个问题,我们先来仔细分析一下这个旋转转盘的周长到底是怎么发生变化的

狭义相对论有一条非常著名的推论——“钟慢尺缩”效应,这条推论相信很多朋友都听说过,不过大家有没有发现一点问题,就是在介绍“钟慢尺缩”这个效应的时候,在很多相关文章中都只提到匀速直线运动,比方说一艘高速宇宙飞船在宇宙中以二分之一的光速飞行,试问飞船上时间的流速和地球有什么不同?在地球参考系中,飞船的长度和起飞时有什么变化?

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

这就是一道很基础的狭义相对论问题,但你有考虑过这样的问题符合现实吗?暂且承认有这么一艘能够达到光速一半的飞船,那么飞船是否需要经历一个加速过程呢?是否在航行途中需要转向呢?也就是说,我们对于狭义相对论的认识,很多时候都是处于一种理想状态,即匀速直线运动,而对于非直线运动,在很多情况下都自动忽略了。

为此咱们在上篇文章中狭义相对论只能用于匀速直线运动?这误解有点大特地研究了如何用狭义相对论处理变速直线运动,而现在提到的这个转盘实验,则涉及非直线运动。

如果仔细思考一下,还会发现对于测量周长这一目的,我们必须从两个参考系出发:

一个是地面参考系,也就是站在转盘之外的观测者,很显然,这是从惯性系角度进行的测量;而另一个则是转盘参考系,假设转盘面上有一个生物对转盘周长进行测量,很显然,这是从非惯性系角度进行的测量。

我们首先从地面观测者的角度(也就是惯性系角度)去考虑这个问题

由于转盘是匀速转动的,所以转盘边缘切向速度的数值不变,只是方向受到向心加速度时刻改变着,因此我们可以在转盘边缘上建立无穷多个瞬时惯性系,也就是在任意一点上做个瞬时局部惯性系,用来进行局域测量,并且值得注意的一点是:加速度不会对局域测量的结果产生影响

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

如此一来,我们便可放心的使用洛伦兹变换对局部时空进行计算了(因为洛伦兹变换只能适用于惯性系之间)。不难想象,因为事先将转盘边缘一圈的量尺数量假设为无穷多个,那么每一个量尺的长度都非常之短,符合局域测量的要求,同时还因为切向速度与量尺平行,也就是量尺的运动方向就是其长度方向,可以用狭义相对论的尺缩效应进行计算。

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

尺缩效应

因此当地面观测者用自己手中的量尺对转盘上的量尺进行对比时,会发现转盘上的量尺变短了(虽然每把量尺显示的数值还是一样的)。

在知道这一点后,我们就能对转盘周长的变化下一个结论了:

地面观测者想要知道转盘周长,那么他就必须拿着自己手中的量尺放到转盘边上,贴着测量,由于手中的量尺与自己没有相互运动,所以测出来的周长数值仍旧是转盘静止时的数值,因此地面观测者认为周长不变。

但地面观测者对于转盘生物要去测量周长时的看法就变的不一样了,因为在地面惯性系中,转盘上的量尺是缩短的,也就是说转盘上的生物想要对转盘周长进行测量就需要更多的量尺(比地面观测者测量时时用到的量尺要多),因此转盘生物测出的周长要大于地面观测者的结果(比如说每把量尺代表长度为1,则量尺的数量则代表周长大小)

一个转动的圆盘能引起空间弯曲?爱因斯坦是这样解释的(一)

尺缩公式

说到这,可能有些朋友就要问了:

你刚才完全是从地面观测者的角度去考虑的这个问题,要是你站在转盘生物的角度又会怎么样呢?

二者的结论不会矛盾吗?毕竟从转盘生物的角度来看,转盘上的一切物体与它自己都保持着相对静止,反倒是地面观察者手中的量尺变短了......

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