专题09复数、推理与证明
【训练目标】
掌握复数的概念及复数的分类；
掌握复数的四则运算，复平面问题；
掌握共轭复数的概念，模长的计算；
理解复数的几何意义；
掌握归纳推理和类比推理的方法；
掌握反证法，综合法，分析法，数学归纳法。
【温馨小提示】
本专题高考有一道复数题，一般在选择题的第一或二题，属于送分题，主要考察复数的运算及复平面；推理与证明也是今年考试的热点，一半出现在选择题或者填空题，属于容易题。
【名校试题荟萃】
1.若集合，，则等于（?）
B.C.D.
【答案】C
【解析】因为，，所以。
2.设复数满足（为虚数单位），则复数在复平面内对应的点位于（）
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
【答案】D
【解析】
由题意，对应点为，在第四象限．故选D．
3.若复数是纯虚数，则的值为（??）
A.B.C.D.或
【答案】A
【解析】
由题意可得因为复数z是纯虚数所以满足实部为零且虚部不为零.即.因为且，所以.所以.因为.故选A.
4.设为虚数单位，如果复数满足，那么的虚部为（?）
A.B.C.D.
【答案】B
5.设复数满足，则（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
可得，则，则．
6.是的共轭复数，若，（为虚数单位），则（?）
A.B.C.D.
【答案】D
【解析】
方法一：设（），则，
，．
又，，
故．
方法二：，，
又，，
，.
7、已知为实数，若，则实数等于（）
A.B.C.D.
【答案】B
【解析】
且复数不可比较大小，必为实数，，，.故选B.
8、已知，，定义：.给出下列命题:
（1）对任意,都有；
（2）若是复数z的共轭复数，则恒成立；
（3）若，则；
（4）对任意，结论恒成立.
则其中真命题是（?）
A.（1）（2）（3）（4）B.（2）（3）（4）C.（2）（4）D.（2）（3）
【答案】C
9、复数的共轭复数是（）
A.B.C.D.
【答案】A
【解析】
，故选A.
10、考察下列等式：
???，
???，
???，
……
??，
其中为虚数单位，均为实数．由归纳可得，的值为.
【答案】0
【解析】
通过归纳可得，，从而．
11、是复平面内的平行四边形，三点对应的复数分别是，则点对应的复数为_______.
【答案】
12、下面四个命题中，①复数，则其实部、虚部分别是；②复数满足，则对应的点集合构成一条直线；③由，可得；④?为虚数单位，则．正确命题的序号是.
【答案】①②
13、已知复数和复数,则的值_______.
【答案】
【解析】
.
14、若是实数，，则.
【答案】
【解析】
，因为是实数，所以是实数，又，故.
15、设，复数满足：且（其中?为虚数单位），求的值为．
【答案】
16、下列说法中正确的序号是_______.
①
②若一个数是实数,则其虚部不存在
③虚轴上的点表示的数都是纯虚数
④设(为虚数单位),若复数在复平面内对应的向量为,则向量的模是
⑤若,则对应的点在复平面内的第四象限.
【答案】④⑤
17、观察下列各式：，，，则的末两位数字为（?）
A.01B.43C.07D.4
【答案】B
18、观察下列各式：，…，若，则（?）
A.B.C.D.
【答案】C
【解析】
.
所以，
所以，所以，故选C.
19、一名法官在审理一起珍宝盗窃案时，四名嫌疑人甲、乙、丙、丁的供词如下，甲说：“罪犯在乙、丙、丁三人之中”；乙说：“我没有作案，是丙偷的”；丙说：“甲、乙两人中有一人作了案”；丁说：“乙说的是事实”。经过调查核实，四个人中有两个人说的是真话，另外两人说的是假话，且这四个人中只有一名罪犯，说真话的人是()
A.甲、乙B.甲、丙C.乙、丁D.甲、丁
【答案】B
【解析】
由四个所说，得上面的表，由于是两对两错，如果乙说的是对的，则甲也对丁也对，不符。所以乙说假话，小偷不是丙。同时丙说的也是假话。即甲、丙说的是真话，小偷是乙。
20、我国古代数学名著《孙子算经》中有如下故事:“今有三女,长女五日一归,中女四日一归,少女三日一归.”意思是:“一家出嫁的三个女儿中,大女儿每五天回一次娘家,二女儿每四天回一次娘家,小女儿每三天回一次娘家,聚齐后,三个女儿从娘家同一天离开.”假如回娘家一次算回家一天,若当地风俗正月初二都要回娘家,则从正月初三算起的两百天内,下列说法正确的是()
A.小女儿回家68天
B.二女儿回家52天
C.大女儿回家38天
D.有女儿在娘家的天数为119天
【答案】D
21、(2018山东日照一模)的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数之和为
,
参照上述方法,可求得200的所有正约数之和为()
A.930B.465C.360D.240
【答案】B
【解析】类比36的所有正约数之和的方法有:200的所有正约数之和可按如下方法得到:因为,所以的所有正约数之和为,所以200的所有正约数之和为465,故选B.
22、将正偶数排列如图，其中第行第列的数表示为，例如，若，则________.
【答案】62
23、在平面几何中，的内角平分线分所成线段的比为，把这个结论类比到空间：三棱锥中（如图所示），面平分二面角且与相交于，则得到的类比的结论是_______.
【答案】
【解析】
在中，作于，于，则，所以，根据面积类比体积，长度类比面积可得，即．
24、设是坐标原点，AB是圆锥曲线的一条不经过点且不垂直于坐标轴的弦，是弦的中点，分别表示直线的斜率.在圆中，，在椭圆中，类比上述结论可得________
【答案】
25、数学竞赛后，小明、小乐和小强各获得一枚奖牌，其中一人得金牌，一人得银牌，一人得铜牌，老师猜测：“小明得金牌，小乐不得金牌，小强得的不是铜牌．”结果老师只猜对了一个，由此推断：得金牌、银牌、铜牌的依次是_________．
【答案】小乐，小强，小明．
【解析】
其一，若小明得金牌，则小乐一定不得金牌，不合题意；
其二，小明得银牌时，再以小乐得奖情况分析，若小乐得金牌，小强得铜牌，不合提议，若小乐得铜牌小强得金牌，也不合题意；
其三，若小明得铜牌，仍以小乐得奖情况分类，若小乐得金牌，小强得银牌，则老师才对一个合题意，若小乐得银牌，小强得金牌，则老师对了俩；不合题意，综上，小明得铜牌，小乐得金牌，小强得银牌．
26、凸函数的性质定理如下:如果函数在区间上是凸函数,则对于区间内的任意,,…,,有.已知函数在区间上是凸函数,则在中,的最大值为_________.
【答案】
【解析】
∵在区间上是凸函数,且,
∴,
即,∴的最大值为.
27、记为有限集合的某项指标，已知，，，运用归纳推理，可猜想出的合理结论是：若，___________（结果用含的式子表示）.
【答案】?
28、观察如下规律:,则该数列的前120项和等于_______.
【答案】150
【解析】
由,发现该数列,由个,个,个,个组成,∵,∴该数列前项,由个,个,个,个组成,即,故答案为.
29、若是抛物线上的一点，则抛物线在点处的切线的斜率可以通过如下方法求得：在两边同时对求导，得，即，所以抛物线在点P处的切线的斜率．请类比上述方法，求出双曲线在点处的切线的方程为_________.
【答案】
30、称为取整函数,是指不超过的最大整数,如,该函数被广泛应用于数论、函数绘图和计算机领域.运用取整的观点,我们可以解决如下问题.已知,且,则______.
【答案】4
【解析】
,就,则,从而所求.
31、已知等式“”、“?”、“?”均成立．则________
【答案】4
【解析】
观察已知等式，推测：
所以答案应填：4
|
|
