初一(下)拓展课数学竞赛讲义(六)
几何变换
几何变换是把一个几何图形变换成另一个几何图形的方法。对称、平移、旋转变换是几何变换中的基本变换。
对称变换:如果把一个图形变到它关于直线l的轴对称图形,这样的变换叫做关于直线l的对称变换,又称反射变换,直线l称为对称轴,我们常选用线段的垂直平分线、角平分线、等腰三角形的底边上的高作为对称轴来解题。
已知:⊿ABC中,∠A<60°,试在⊿ABC的边AB、AC上分别找一点P、Q,使BQ+QP+PC最小。
在⊿ABC中,AH是高,已知∠BAC=45°,BH=2,CH=3
求⊿ABC的面积。
旋转变换:把图形绕定点O转动角度α得到图形的变换称为旋转变换,点O称为旋转中心,α叫做旋转角,若α=180°,这种特殊的旋转变换叫做中心对称变换,这时旋转中心叫做对称中心。旋转性质有:(1)在旋转变换下两点之间的距离不变。(2)在旋转变换下两直线的夹角不变,且对应直线的夹角等于旋转角;
设O是正三角形ABC内一点,已知∠AOB=115°,∠BOC=125°,
求以OA,OB,OC为边构成的三角形的各角。
设E、F各为正方形ABCD的边BC和DC上的点,
∠EAF=45°,AN⊥EF于N。
求证:(1)AN=AD;(2)
平移变换:把几何图形沿某一确定的方向移动一定的距离的变换。
例:已知:四边形ABCD中,AD=BC,E、F分别是AB分别是AB、CD的中点,AD、EF、BC的延长线分别交于M,N两点
求证:∠AME=∠BNE
练习:
1、设P是等边三角形ABC内一点,∠APB,∠BPC,∠CPA的大小之比是
5:6:7,则求以PA,PB,PC的长为边构成的三角形的三个内角之比(从小到大)。
2、如图,P是正方形ABCD内一点,PA:PB:PC=1:2:3,则∠APB=_____。
如图,凸四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O,且AC⊥BD,已知OA>OC,OB>OD,比较BC+AD与AB+CD的大小
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