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保持简单 在日常生活中，有许多现象是按照一定的规律，依次不断重复出现的，比 如每周七天，从星期一开始，到星期日结束，总是以七天为一个循环周期的。我 们把这种现象叫做周期现象。我们把周而复始循环出现的规律性问题，称为周期 性问题。解决周期性问题的关键是确定循环周期。 一、基本知识点1、含义我们把连续两次出现所经过的个数叫做周期。周期问题中我们首先要寻找重 复体，重复体有几个数，那说明周期就是几。 2、常用公式总量÷周期=组数„„（余数） 无余数：本组的最后一个 有余数：下一组的余数个 3、题型（1）求某一个是什么 （2）求某一种的个数 （3）周期求和 （4）日期中的"星期几"问题（起始日） 4、解题思路步骤：确定周期 找到总量 总量÷周期=组数„„余数 关注余数 （1）画示意图。 （2）找周期。找出规律，找出周期，即多少个（次）又出现重复。 （3）列除法算式。用总量除以周期。 （4）求解。如果没有余数，就正好是整数个周期，结果为周期里的最后一 个；如果有余数，看余数，余几就是周期里的第几个；如果不是第一个开始循环， 可以从总量里减掉不循环的个数后，再继续算。 5、顺口溜周期问题并不难，除法算式来帮忙。 列式之前别忙算，先找每组有几个。 每组有几除以几，算出余数便知道。 余几就是第几个，没有余数找末尾。 二、一张思维导图归纳总结 当植树问题中出现周期，怎么寻找周期，利用周期解决植树问题。 三、经典应用例 1、园林工人在公园的小路边种树，他们按 2 棵榕树、3 棵椰树、1 棵松 树的顺序来排列，一共有 50 棵树，那么榕树、椰树、松树各种了几棵？ 【分析】（1）找周期：分析题意可知，这排树的排列规律是 2+3+1=6 棵树一 个循环周期，分别是 2 棵榕树、3 棵椰树、1 棵松树的顺序栽种。所以周期长度 =6；（2）根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周期及剩下的数是 哪几种数。 【解答】50÷6=8（组）„„2（棵） 余下的 2 棵树是榕树。 榕树：8×2+2=18（棵） 椰树：8×3=24（棵） 松树：8×1=8（棵） 答：榕树种了 18 棵，椰树种了 24 棵，松树种了 8 棵。 例 2、沿着学校的一条小路的一侧植树，两头都要植树，每隔 5 米植 1 棵树， 马路长 300 米，学校为了绿化校园环境，决定按照 3 棵杨树、2 棵柳树、1 棵槐 树的顺序依次植树。问一共要植树多少棵？其中多少棵杨树？多少棵柳树？多少 棵槐树？ 【分析】（1）先解决植树问题。"在小路的一侧植树，两头都要植树"表明 这是非封闭图形两端植树问题，棵树=间隔数+1=全长÷棵距+1，可以先求出一共 植树多少棵。 （2）接下来是周期问题，3 棵杨树、2 棵柳树、1 棵槐树为一个周期，一个 周期共有 3+2+1=6 棵树。根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周 期及剩下的数是哪几种数。 【解答】共植树：300÷5+1=61（棵） 周期：61÷6=10（组）„„1（棵） 共 10 个周期，还多 1 棵树，多的这 I 棵树是杨树。 杨树：10×3+1=31（棵） 柳树：10×2=20（棵） 槐树：10×1=10（棵） 答：一共要植树 61 棵，其中杨树 31 棵，柳树 20 棵，槐树 10 棵。 例 3、一圆形池塘一圈长 1000 米，在它的周围从 A 点开始每隔 50 米安装一 个路灯，每隔 10 米植一棵树，有路灯的地方不能植树，植树按照 5 棵悬铃木、4 棵银杏、3 棵杨树的顺序依次种植，请问一共有多少个路灯？多少棵树？其中多 少棵悬铃木多少棵银否？多少棵杨树？ 【分析】（1）一圆形池塘是封闭图形，所以棵树=间隔数。根据有路灯的地方 不能植树，首先解决灯的数量，再求共植树多少棵。 （2）周期问题：这些树按照 5 棵悬铃木、4 棵银杏、3 棵杨树的顺序种植， 12 棵树为一个周期。根据公式总量÷周期=组数„„（余数）可求出几组周期及 剩下的数是哪几种数。 【解答】路灯个数：1000÷50=20（个） 植树棵树：1000÷10-20=80（棵） 周期：80÷12=6（组）„„8（棵） 共 6 个周期，余下的 8 棵树是 5 棵悬铃木和 3 棵银杏。 悬铃木：6×5+5=35（棵） 银杏：6×4+3=27（棵） 杨树：6×3=18（棵） 答：一共有 20 个路灯和 80 棵树，其中悬铃水 35 棵，银杏 27 棵，杨树 18 棵。 例 4、大雪后的一天，小明和爸爸共同测一个圆形花圃的周长。他们的起点 和走的方向完全相同。小明的平均步长 54 厘米，爸爸的平均步长 72 厘米。由于 两人的脚印有重合，并且他们走了一圈后都回到起点，这时雪地上只留下 60 个 脚印，这个花圃的周长多少米？ 【分析】因他们的起点和走的方向完全相同，也就是一前一后的走，脚印一 定有重合的，即重合在两人步子长度的公倍数上，所以先求出他们步长的最小公 倍数，再求出他们脚印重合时的步数，然后再根据周期及最小公倍数求出这条路 的长度，也就是花圃的周长。 【解答】54 和 72 的最小公倍数是 216， 第一次两人脚印重合时， 爸爸走的步数：216÷72=3（步） 小明走的步数：216÷54=4（步） 应重合的次数：60÷（3+4-1）=10（次） 花圃周长：10×216=2160（厘米）=21.6 米 答：这个花圃的周长 21.6 米。 |
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