这篇长达165页的论文，用一个里程碑式的证明同时解决了量子物理学和理论数学的难题

taotao_2016 2020-03-16

展开全文

选自Quanta Magzine

作者：Kevin Hartnett

机器之心编译

参与：Panda、蛋酱

计算机科学、数学、物理学，这三个学科各自的一些重大难题在近日发布的一篇标题简洁的论文《MIP*=RE》中同时得到了解答。在该论文中，五位计算机科学家为可通过计算方式验证的知识确立了一个新的边界。基于此，他们又为量子物理学和纯数学领域仍未得到解决的重大难题带去了答案。

这篇长达 165 页的论文所揭示的研究成果，一经发布，就在学界引发了广泛的关注，《Nature》杂志也对此进行了介绍。原论文可访问：https:///abs/2001.04383。

本文编译自 Quanta Magazine，以下内容是对该证明的详细解读：

故事要从 80 多年前说起。1935 年，阿尔伯特·爱因斯坦与鲍里斯·波多尔斯基（Boris Podolsky）和纳森·罗森（Nathan Rosen）合作揭示了一种可能性：即使距离很远，两个粒子也可以发生纠缠或关联。

就在接下来的一年里，阿兰·图灵（Alan Turing）提出了第一个通用计算理论，他证明了一件事：存在计算机永远无法解决的问题。

这两个想法都为各自的学科领域带来了革命，而且它们看起来似乎并不相关。

但现在，一个具有里程碑意义的证明出现了，它将这两种想法联系在了一起，同时解决了计算机科学、物理学和数学领域许多尚未解决的问题。

这个新证明就是：理论上，使用纠缠态量子比特（qubit）而非经典的 1 和 0 进行计算的量子计算机可用于验证非常多的问题的答案。纠缠与计算之间的这种对应关系震惊了许多研究者。

这个证明的作者们原本是想确定一种用于验证计算问题的答案的方法局限性，这种方法涉及纠缠。找到那个局限性之后，顺带解决了另外两个问题：物理学中的 Tsirelson 问题（关于如何用数学建模纠缠）以及纯数学领域的一个相关问题（科纳嵌入猜想）。

最终，这些结果像多米诺骨牌一样级联到了一起。

「这些思想都是同一时间出现的。它们能以如此戏剧性的方式再次聚首，真是很不错。」该证明的作者之一多伦多大学的 Henry Yuen 说。此外，该证明的作者还有悉尼科技大学的季铮锋（Zhengfeng Ji）、加州理工学院的 Anand Natarajan 和 Thomas Vidick 以及德克萨斯州大学奥斯汀分校的 John Wright。这五位研究者都是计算机科学家。

不可定的问题

在计算机诞生之前，图灵就已经为计算方面的思考定义了一个基本框架。几乎在同时，他也表明始终存在某些计算机无法解决的特定问题。这就是常说的「图灵停机问题」。

经典设计中，计算机程序可以接收输入并产生输出。但有时候，程序会进入无限的循环之中，不停地重复工作。如果你遇到了这种情况，那只能手动终止这个程序。

图灵证明了，并不存在一个通用算法，可以确定一个计算机程序将停止还是永远运行。答案必须在运行这个程序后才能知道。

计算机科学家 Henry Yuen、Thomas Vidick、Zhengfeng Ji、Anand Natarajan 和 John Wright 合作证明了一个验证计算问题的答案的问题，却最终为数学和量子物理学领域的重大问题提供了解答。

「如果你已经等待了 100 万年而一个程序还未停止，你需要等待 200 万年吗？没办法知道答案。」滑铁卢大学数学家 William Slofstra 说。

用技术术语来说，图灵证明这个停止问题是不可定的（undecidable）——甚至可想象的最强大的计算机也无力解决。

图灵之后，计算机科学家开始根据难度来对其它问题进行分类。要解决更难的问题，所需的计算资源也更多，也就是说需要更多运行时间、更多内存。这些属于计算复杂性问题。

最终而言，每个问题的求解都涉及到两个重大问题：「这个问题的解决难度有多大？」和「验证答案正确的难度有多大？」

审问式验证

当问题相对简单时，判断答案正确与否也很简单。但问题变得更加复杂时，就很难直接判断了。但就算无法确认，你也能知道答案到底对不对。

此处就要提到「审问式验证」了。这个方法跟警察审问的逻辑差不多：

如果一个嫌犯讲的故事是精心编造的，那你可能没办法去验证每一处细节。但只需要针对这个故事提出一些问题，你就可以知道嫌犯是在说谎，还是在如实陈述。

套用到计算机科学术语上说，「审问」的双方分别是一台强大的计算机和一台更弱的计算机。其中强大的计算机（证明者）给出了一个解，较弱的计算机（验证者）则希望通过提问来确定该解是否正确。

举个简单的例子，假设你是一个色盲，另一个人（证明者）称两颗弹珠颜色不同。你要怎么验证他说的是不是真的呢？

你可以把这两颗弹珠拿到身后混在一起，再拿出来让证明者区分它们。如果它们颜色真的不同，那么证明者应该每一次都能给出正确的答案。如果这两颗弹珠实际上颜色一样，那么证明者有一半的可能会猜错（就算超过半数的时间能说对，那也能肯定颜色不一样了）。

这种方法还可以验证大量不同类别问题的解。以此推之，当两个证明者针对同一个问题都给出解时，验证速度会变得更快。

就比如，你要审问的嫌犯如果有两个，解决一个犯罪案件就会更加轻松，因为你可以交叉检验他们的答案。如果这些嫌犯讲的是实话，那么他们所说的大多都对得上。如果他们在说谎，那么更多时候会出现互相矛盾的答案。

计算复杂性可能看起来完全是理论方面的问题，但其实也与真实世界联系很紧密。在求解和验证问题的过程中，计算机需要时间和内存资源，本质上这是物理问题。

因此物理学领域的新发现会影响到计算复杂性。Natarajan 说：「如果你选择了量子物理学而不是经典物理学，那么你会得到不同的复杂性理论。」

这是 21 世纪的计算机科学家们，面对 20 世纪物理学中最古怪的纠缠思想，得到的最终结果。

突破口：科纳嵌入猜想

当两个粒子互相纠缠时，实际上并不会互相影响——它们之间不存在因果关系。爱因斯坦与其合作者在 1935 年的论文中阐述了这一思想。在那之后，物理学家和数学家都在努力想要通过数学的方式来描述纠缠的真正含义。

但是努力的结果却有点混乱，科学家们为纠缠构想出了两个不同的数学模型——而且之前并不清楚它们是否等效。

这种潜在的不和谐，最终给纯数学领域带来了一个重要问题，即科纳嵌入猜想。最终，这成为了这五位计算机科学家新证明中的突破口。

第一种建模纠缠的方法将粒子视为在空间上是互相隔离的，比如一个在地球上，一个在火星上；妨碍两者之间因果关系的是它们之间的距离。这被称为张量积模型，但在某些情况下，两个事物在因果关系上是否相互独立却并不非常明显。

因此，数学家想出了另一种更通用的描述因果独立性的方法。

当执行两个运算的顺序不影响结果时，则这两个运算满足交换律：3×2 和 2×3 是一样的。在第二种模型中，只要粒子的属性互相关联，则这些粒子便是互相纠缠的，但你执行观测的顺序无关紧要：观测粒子 A 来预测粒子 B 的动量或反过来，不管选用哪种顺序，得到的答案都一样。这被称为交换算子式纠缠模型。

这两种对纠缠的描述都要用到按行列形式组织的数字阵列，即矩阵。第一种张量积模型使用了行数和列数有限的矩阵，第二种交换算子模型使用一个更通用的对象，其工作方式就像是一个行数和列数无限的矩阵。

随着时间的推移，数学家开始以研究这些矩阵为目标，完全与物理学世界脱离了联系。除了这项研究之外，数学家 Alain Connes 在 1976 年提出了一个猜想：有可能使用有限维矩阵来近似很多无限维矩阵。这是科纳嵌入猜想暗含的结果之一。

下一个十年，物理学家 Boris Tsirelson 提出了该问题的一个版本，再次将这个问题纳入了物理学研究中。Tsirelson 猜想张量积纠缠模型和交换算子式纠缠模型是大致等价的。这当然是合理的，因为是对同一物理现象的两种不同的理论描述。后续的研究表明，由于矩阵以及使用这些矩阵的物理模型之间所存在的关联性，科纳嵌入猜想与 Tsirelson 问题实际上是互相暗含的。解决了其中一个，你也就解决了另一个。

然而，这两个问题的解最终都源自另外一个完全不一样的位置。

博弈所体现的物理学

1960 年代，物理学家约翰·贝尔（John Bell）提出了一种测试方法，可以确定纠缠究竟是真实的物理现象或只是一个理论概念。这种测试涉及到一种博弈，其结果可说明是否存在某种不同寻常的非量子物理学的东西。

后来，计算机科学家又意识到，这种测试纠缠的方法也可用于验证非常复杂的问题的答案。

为了了解这种博弈的工作方式，我们先假设有两个玩家 Alice 和 Bob 以及一个 3×3 的网格。裁判为 Alice 分配了一行，并告诉她在每个空格中输入一个 0 和 1，并使得数字之和为一个奇数。Bob 则得到一列，他的填充方式要使得该列之和为一个偶数。如果他们在列与行的重叠区放的数字一样，则他们就获胜。同时不允许他们互相交流。

在经典设置中，他们的最佳表现为 89% 的胜率。但在量子设置中，他们可以做得更好。

假设为 Alice 和 Bob 分配了一对互相纠缠的粒子。他们观测各自的粒子，然后使用观测结果来引导每个格子的数字填充。由于这些粒子互相纠缠，所以他们的观测结果是互相关联的，也就意味着他们填入的答案是互相关联的——进一步意味着他们的胜率可达 100%。

图片来自：Lucy Reading-Ikkanda/Quanta Magazine

所以如果两个玩家获胜的概率高出预期，可以得出结论：他们使用了某种超出经典物理学之外的东西。这样的贝尔式实验现在被称为「非局部博弈（nonlocal game）」，因为玩家之间是分开的。

物理学家在实验室中真正地执行了这样的实验。Yuen 说：「多年来做实验的人已经表明这样这种鬼魅般的事情确实存在。」

在分析任何博弈时，你可能都想知道玩家如果竭尽全力地玩，在一场非局部博弈中的胜率是多少。但在 2016 年时，William Slofstra 证明不存在用于计算所有非局部博弈的确切最大胜率的通用算法。

所以研究者就想：能不能至少做到近似求取最大获胜百分比？

使用两个描述纠缠的模型，计算机科学家锁定了答案。在近似所有非局部博弈的最大胜率时，使用张量积模型的算法可确立一个下限，即最小值。另一个使用交换算子模型的算法可确立一个上限。

运行这些算法的时间越长，得到的答案就会越精准。如果 Tsirelson 的预测是对的，这两个模型确实等价，那么这个上限与下限之间应当相距很近，最终收缩为单个值，这个值就是近似得到的最大胜率。

但如果 Tsirelon 的预测不对，那么这两个模型就不等价。Yuen 说：「那么上限和下限就一直相隔很远。」那么也就没有办法计算非局部博弈的近似最大胜率了。

这五位研究者在他们的新研究中使用了这一问题：上限和下限能否收敛以及 Tsirelson 问题是否为真？目的是解决另一个问题：是否有可能验证一个计算问题的答案。

纠缠所提供的帮助

2000 年代早期，计算机科学家开始思考：如果审问两个共享了纠缠粒子对的证明者，可验证问题的范围又将如何变化？

大多数人都猜想纠缠不利于验证。毕竟如果两个嫌犯之间存在某种串通答案的方式，那么他们就更容易编造出一致连贯的供词。

但最近几年，计算机科学家已经意识到事实恰恰相反。通过审问共享了纠缠粒子的证明者，可验证问题的范围比没有纠缠时更广。

Vidick 说：「纠缠可以产生关联，你可能认为这能帮助他们说谎或欺骗，但事实上你能把它变成自己的优势。」

怎么会这样？要理解这一点，你首先需要了解你可以通过这个交互式流程验证的大量问题。

假设有一个图，由一组点（顶点）和连接这些点的线（边）构成，能否使用三种颜色给其中的顶点涂色，使得任何一条边所连接的两个顶点的颜色都不一样？如果可以，那么这个图就是「三色可分的（three-colorable）」。

如果你交给一对纠缠的证明者一张非常大的图，而他们报告说这张图是三色可分的，那么你会疑问：是否存在验证他们答案的方法？

如果图非常大，那么直接检查结果是不可行的。但是，你可以向每个证明者提问，让他们告诉你两个相连顶点中分别一个顶点的颜色。如果他们报告的颜色不一致，而且每次提问的结果都是如此，那么你就能越来越相信这种三色涂色方案是可行的。

但当图非常大时，这样的审问策略也会失效，比如当边和顶点的数量超过宇宙的原子数量时。甚至称述一个具体问题（「告诉我 XYZ 顶点的颜色」）的任务就超出你这个验证者的能力范围，因为用于命名各个顶点所需的数据量超过了你工作内存所能容纳的极限。

但纠缠可以让证明者自己想需要提出的问题。Wright 说：「验证者不必去计算问题。验证者可以迫使证明者为其计算问题。」

验证者想要证明者报告相连顶点的颜色。如果这些顶点不是相连的，那么这些问题的答案与该图是否三色可分无关。换句话说，验证者想要证明者给出的问题是相关的。一个证明者问的是有关顶点 ABC 的情况，另一个证明者则问的是有关顶点 XYZ 的情况。希望是这两个顶点是相连的，不过这两个证明者都不知道彼此想的是哪个顶点。（就像 Alice 和 Bob 都希望在同一个方格中填入同样的数字，即便他们都不知道对方被要求填哪一列或行。）

如果两个证明者完全靠自己想出了这些问题，那么就不可能迫使他们选择相连或相关的顶点，也就没法让验证者验证他们的答案。

但纠缠能提供这样的相关性。我们几乎可以把所有任务都交给证明者，让它们自行选择问题。

到该流程结束时，每个证明者都报告一种颜色。验证者检查它们是否一样。如果这个图是真正三色可分的，那么证明者永远不应报告同一种颜色。

Yuen 说：「如果存在三种颜色，证明者可以说服你只有一种。」

事实证明，这个验证流程不过是非局部博弈的又一案例而已。如果证明者能说服你相信他们的解是正确的，那么该证明者便「获胜」。

2012 年，Vidick 和 Tsuyoshi Ito 证明，有可能使用纠缠的证明者来执行种类广泛的非局部博弈，以验证问题的答案，而且这些问题的数量至少与可通过审问两台经典计算机验证答案的问题数量一样多。也就是说，使用纠缠的证明器与验证不冲突。去年，Natarajan 和 Wright 证明：与纠缠的证明者交互实际上可以扩展可以验证的问题的类别。

但那时计算机科学家尚不清楚可用这种方式验证的所有问题类别。

而现在，情况发生了变化。

一连串的成果

这五位计算机科学家在他们的新论文中证明，通过审问纠缠的证明者，可以验证无法求解的问题的答案，包括停机问题。

Yuen 说：「这种模型的验证能力真的是超出了想象。」

但停机问题是无法解决的。事实上，正是这种新提出的思想，有望为这一断言带来最终证明。

设想你将一个程序提供给了一对纠缠的证明者，想要它们告诉你这个程序是否会停止。你已经准备好通过一种非局部博弈来验证它们的答案：这些证明者会生成问题，然后会根据这些问题的答案的协调性来「获胜」。

如果该程序事实上会停止，则证明器的胜率应为 100%——类似于一个图确实三色可分的情况，纠缠的证明者不应该报告两个相连的节点的颜色一样。如果该程序不会停止，则证明者只能靠运气获胜——胜率为 50%。

这意味着如果某人要求你确定这个非局部博弈问题的一个具体实例的近似最大胜率，你首先需要解决这个停机问题。而解决这个停机问题是不可能的。这意味着为非局部博弈计算近似最大胜率的问题是不可定的，就像停机问题一样。

这又进一步意味着 Tsirelson 问题的答案是「否」——这两个纠缠模型并不等价。因为如果它们是等价的，那么你可以把上限和下限压到一起，计算得到一个近似最大胜率。

马德里康普顿斯大学的 David Pérez-García 说：「不可能存在这样一个算法，所以这两个模型必定不同。」

这篇新论文证明：通过与纠缠的量子证明者交互所能验证的问题类别（称为 MIP* 类别）其实就等于不难于停机问题的问题类别（称为 RE 类别）。该论文的标题就简洁明了地说明了这一点：「MIP* = RE」