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聪明青年智当女婿
在一个古代的欧洲国家里，有一位非常漂亮的公主。在考虑婚姻大事时，她想挑选一个聪明的青年做她的丈夫。周王知道后，自然高兴万分，当即找来许多大臣，商订了一个选女婿的方案
按照商订的方案。国王在王宫前的广场上举行了隆重的选女婿仪式。前来参加竞争的是l00名已被精心挑选过的青年。一位大臣向大家宣布了规则：
竞选人以公主为首排成一个横列。在国王下达报数令后，由公主开始报数，每报数一次，所有的偶数退列。经过多次报数后，谁能够唯一地留在公主的身边，谁就是被选的女婿。
竞选来始了！那100名青年随着公主整整齐齐地排成一个横列。国王一声令下：“报数！”成千上万双眼睛都紧紧地注视着他们。一批竞选人落选了，又一批竞选人落选了......经过6次报数后，一个从小就喜爱数学的青年赢得了胜利，被选为女婿。
这位聪明的青年人获胜的秘诀在哪里呢？
我们知道，要能够最后唯一地留在公主身边，关键在于第一次排队时所选的位置。确定这个位置并不难。一个办法是从1写到101，一次一次地将排列顺序中的偶数部分划去，即
（1）1、2、3、4、5、······100、101；
（2）1、3、5、7、9、······99、101；
（3）1、5、9、13、17······97、101；
（4）1、9、17、25、33······89、97；
（5）1、17、33、49、65、81、97；
（6）1、33、65、97．
这样，我们不知道被选女婿第一次排队时的位置的序号应是65。
高斯童年的重大发现
高斯是德国历史上著名的数学家。他1777年出生于一个贫穷的家庭里，1855年去逝。他的祖父是农民，父亲给人打短工，跑腿、打杂，还当过小杂货店里的算账先生。母亲是石匠的女儿，没有什么文化。就是生长在这样环境下的高斯，却从小就表现出了惊人的数学才智。
有一天，高斯的父亲在小店里给几个人结算工资。他算来算去，费了好大的劲才算完。正当他“唉”地一声松口气时，突然听到背后一个微弱的声音说道：“爸爸，您算错了，总数应该是……”父亲听了，心里一惊，赶忙仔细地再核算了一遍，发现真的错了，且高斯说的总数是对的。父亲很是奇怪，谁也投有教过小高斯算术，为什么他会算得如此快而准呢?原来，高斯常常看着他父亲算帐，也就逐渐地学会计算了。
高斯到了入学年龄，便到村庄附近的小学念书。学校里的算术教师是从城里来的，他觉得跑到这么一个穷乡村来教一群穷孩子是大才小用，感到很受委屈。他看不起穷人的孩子，经常骂学生，有时还用鞭子打他们。他认为穷人的孩子是天生的笨蛋，教起书来很不认真。
有一天，这位教师情绪特别不好，他扳着面孔走进教室，站到讲台前，态度恶劣地对学生下令：“今天你们给我算l加2加3……一直加到100，把这100个数的和算出来。谁算不出就不准回家吃饭，直到算出为止。”说完，他就专心致志地看起来小说来了．
不一会儿，高斯拿着自己的答案走到讲台前，问老师：“老师，得数是不是这样的?”老师连头也没抬，挥着手说：“去！去！去！错了，去重新再算！”高斯站着没走，却坚持说：“老师，我想这个答案是对的。”
老师想发一通火，可是，扭头一看，高斯手里拿着的小石板上却端端正正地写着“5050”。他大吃一惊，心想：“这个只有8岁的穷孩子怎么会这么快就算出了正确的答案呢?”原来，高斯并不是按着l+2+3+4+5……+99+100的状序依次往上加的，他发现了这些数一头一尾挨次搭配相加的和都是“101”，即1+100的和是101，2+99的和也是l01……，直到50+51的和还是101。这样的搭配，高斯一数，共有50对，就是有50个101。高斯想，50个101，就是把1Ol乘以50，它们的积是5050，所以，他很快就算出答案来了。小高斯所用的方法，正是古代数学家经过长期努力才找出来的等差数列求和的方法。这种等差数列求和的方法，就是在现代的日常生活中也仍被广泛地采用。
高斯的发现，震动了老师，使他感到不应该看不起穷人的孩子。从此，他认真备课，努力教学。他还从城里买来书籍，高高兴兴地送给高斯，热心地帮助高斯学数学，使高斯对数学发生了更浓厚的兴趣，为他后来在数学领域取得重大成就奠定了良好的基础。
一个死囚的数学智慧
相传，古代有个迷信神的国家，在那里，“神”是最高的审判者。每个死囚在处决之前，还要请神作最后的裁决。办法是：用两张小纸片，一张上写个“活”字，另一第上写个“死”字，由典狱官让死囚来抽，如果抽到“活”字的纸片，死囚可得到赦免。
有一次，一个死囚将被处决，他的仇人为不让他得到赦免的机会，买通了典狱官，把两张纸片上都写上“死”字，仇人想：这一下，不论抽到哪一张纸片，他都死定了。凑巧，死囚的一个好朋友知道了这个诡计，就告诉我死囚，表示要和他一起当众揭露仇人的阴谋。死囚深思了片刻，高兴地说：“这一下，我有救了。”死囚嘱咐他的朋友千万不要泄露秘密。这样他就有把握能得到赦免。
死囚究竟是用什么方法逃生的呢？
原来，当典狱官宣布抽签办法后，那死囚抽出了一张纸片，谁也不让看，就迅速地丢进嘴里嚼烂了。典狱官慌忙斥责死囚：“你抽的是'死’字还是'活’字？死囚从容镇定的回答：“这很简单，您只要查看剩下的是什么字就清楚了”。旁听的人也异口同声地说：“对！”
读者都知道，剩下的那张纸片上无疑写着个“死”字，所以按道理死囚的一张应是写着个“活”字。死囚于是便当众获赦。
显然，死囚是运用数学上的反证法挫败了他的仇人的阴谋，获得了新生。
什么是反证法呢？我们打个简单的比喻，要证明一台电视机是否坏了，可以有两种办法：一种办法是拆开电视机，依次检查零部件和线路，只要能找出一个故障，我们就可断言它坏了；另一种办法是接上电源，打开“开关”健，如果看不到图像，听不到声音，或图象、声音不正常，那么就可以说它坏了。后一种证法的实质是：假定电视机没坏，那么接上电源，打开“开关”键，则电视机必定会出现正常的图像与声音；现在图像或声音有问题，就与电视机没坏的假定产生矛盾，所以，电视机肯定坏了。这种证法就叫反证法。
反证法是数学里一种不可缺少的重要证明方法。它的运用十分广泛，远不止在数学中，古今中外有不少用反证法解决的问题，是十分耐人寻味的。比如物理学上的重要定律---自由落体定律，即是一例，在科学史上传为美谈。
据载，1589年，25岁的意大利著名科学家伽利略，为了推翻古希腊哲学家亚里士多德（前384—前322年）的“不同重量的物体从高空下落的速度与其重量成正比”的错误论断，他除了拿两个重量不同的铁球登上比萨斜塔，当众来做实验说明外，还运用反证法进行充分论证。
伽利略的证法是：先假定亚里士多德的“物体越重下落越快”的论断是正确的，那么，把不同的两个物体紧紧拴在一起，当它们自由落下时，情况会怎样呢？较重的A物体要速落下，但由于受较轻的B物体的拖拽，两个物体一起下落的速度应比A物体单独自由下落的速度要慢。另一方面两个物体A、B拴在一起的重量比原两物体中任何一个都重，因此，下落速度就应当比A物体单独下落的速度快。这样，由同一假定出发，推出两个相互矛盾的结果，可见亚里士多德的论断是错误的。
年轻的伽利略一呜惊人，用实验和反证法驳倒了当时的著名权威。
逻辑学家死里逃生
在古希腊时期，有一位精通逻辑学的学者。因为他的一些观点与当时的宗教思想相违背，国王便下令将他处以绞刑。经过不少大臣苦苦求情，国王才勉强同意给他一线死里逃生的希望。
国王给逻辑学家出了如下这个题目：
这个国王国都的西城有两个门，一个是“死门”，走出去就被杀死；另一个是“活门”，走出去则可得生。两个门前各有一我卫兵把守。其中，一个是诚实（不说假话的）的人。另一个是不诚实（说假话）的人。逃命者在选择从哪个门出城时，只允许身任何一个守门的卫兵问一句话。
当那位逻辑学家被带到西城后，他毫不迟疑地向其中一个城门走去。他先向守门的卫兵鞠一躬，然后彬彬有礼地问道：“请问，......”。得到卫兵的回答后，他便胸有成竹地选择其中一个门走了出去。
显然，在一门前有可能出现下列四种情况：
(1)诚实的卫兵守卫在活门前；
(2)不诚实的卫兵守卫在活门前；
(3)诚实的卫兵守卫在死门前；
(4)不诚实的卫兵守卫在死门前。
面对四种不同情况，逻辑学家何以一问破亡？
这位逻辑学家在城门前是这样提问题：“请问，那边那位守门的卫兵会告诉我此门是死门还是活门？”
在这里，逻辑学家规定卫兵的回答只能是“死门”或“活门”。其实，他可能得到在两个门前两个不同卫兵作出的不同回答：
（1）活门（诚实的卫兵）回答：是死门。
（2）活门（不诚实的卫兵）回答：是死门。
（3）死门（诚实的卫兵）回答：是活门。
（4）死门（不诚实的卫兵）回答：是活门。
通过以上四种可能情况的分析，我们便可得到逻辑学家确实活门位置的秘密；无论在活门前还是在死门前，当他向守门的卫兵问话后，无论守门的卫兵是诚实的人还是不诚实的人，只要回答：“是死门”，他就可以放心的从这个门走出去；如回答：“是活门”，他就毫不迟疑地从另一门走出去。
所以，对那位逻辑学家来说，无论守门的卫兵是诚实的人还是不诚实的人，无论得到的回答是“死门”还是“活门”，他都能立即确定哪一个门是活门，然后从容不迫地走出去。
阿基米德智破疑案
阿基米德是欧洲古代一位伟大的数学家与物理学家。他公元前287年生于西西里岛的叙古拉城，卒于公元前212年。他有惊人的创造力，至今还流传着许多关于他的故事。他思想深邃，其有些著作，经过了2000年以后才被人们接受。
据传说，当时希腊的国王想用真金制成一顶王冠。他便吩咐手下称一块黄金交给金匠。不久，金匠把一顶漂亮而考究的金王冠送来了，国王颇为高兴。但高兴之余，国王还是生了疑虑：金匠会不会在王冠内参假而偷走黄金呢？他便叫人把王冠称了一称，结果重量与交给金匠的那块黄金是一样的。但是，国王仍然怀疑金匠是否把那块黄金全部用上了王冠，而金匠则一口咬定全用上了。国王和大臣们对此问题均束手无策，难以确断。后来，国王想起了阿基米德，便召见他，并请他来解此难题。
阿基米德智慧过人，勤于思考，敢于迎刃而上，遂接受了国王的任务。他想，如果金匠没有其他材料偷换黄金，那么测得的金王冠的重量与体积之比完全相等。金块的重量与体积可以测出，金王冠的重量也可以测出，但金王冠的体积怎样才能测出呢？
阿基米德日思夜想，废寝忘食，如醉如痴，尽管天气很热，却一连好几天没有洗澡。家里人实在看不下去，便硬逼他到澡堂去洗澡。阿基米德进了浴室，脑子里还是在想如何测定金王冠的体积。浴盆里盛着满满的水，他跨进浴盆，慢慢蹲入水中，随着他的身体慢慢地下沉时，大量的水从盆中溢出，淌满了一地。阿基米德顿时像发了疯似的，光着身子跑出浴室，不顾一切地冲出澡堂，跑到大街上，边跑边大声地叫喊着：“我找到了！我找到了......”
阿基米德一跑进家门，便立即叫家里的人端来了满满的一盆水，然后把那顶王冠浸入水中，盆里的水溢出来了，阿基米德把溢出的水收集起来，并测出水的体积。这水的体积就是金王冠的体积。阿基米德发现水的体积比制王冠的金块的体积大了，从而证实了金匠偷走了黄金。在事实面前，金匠不得不承认，在制作金王冠的过程中参进了白银，偷走了部分黄金。
像这种金王冠参假的案件，发生在2000多年前，的确可以称得上“疑案”。可是，阿基米德凭借自己的聪明才智与广博知识，硬是征服了它。这无疑告诉了我们一个普通的道理，智慧与知识是我们攻克的一切难关的有力武器。
爱迪生巧算灯泡容积
爱迪生（1847—1931年）是世界著名的学者，被称为“发明大王”。他出生于美国俄亥俄州的一个小镇----米兰，童年时代就是个非常好奇的孩子，喜欢读书和做实验，小脑袋里总是装着一连串奇奇怪怪的问题。
爱迪生一生的大部分时间都是在实验室中度过的，仅在1869—1910年这41年中，他就取得了电灯、留生机、有声电影等1328种发明专利，平均每11天有一种发明问世，为人类文明做出了杰出的贡献。
1878年的一天，爱迪生像往常一样，埋头在实验室里工作，他把一个没旋上口的梨子形玻璃灯泡递给助手，说：“请你算一下这只灯泡的容积。”
年轻的助手名叫阿普顿，不久前才到爱迪生的实验室来工作。他想：自己是名牌大学数学系的毕业生，计算一个小小灯泡的容积大概不会有什么困难。于是，二话没说就接过了灯泡。可当他开始计算时，却傻了眼：这灯泡算什么图形呢？球形？显然不对！圆柱形？更不是了！......
阿普顿无计可施，最后只好拿出软尺在灯泡的里里外外，上上下下量了起来。他一边量，一边拿出笔来，将所测得的表面积、周长的数字记在纸上，然后，详细地画出图样，又列了一道道算式，伏在桌上计算起来。半个多小时过去了，阿普顿算得满头大汗，那些数据却越算越多，越算越复杂，这是怎么回事呢？真让人着急。“唉，没想到这个小灯泡还真不容易算出容积来呢！”阿普顿一边想，一边皱着眉头飞快地算着。
一个多小时过去了，爱迪生完成了手头的试验，他走到阿普顿身旁，关切进问：“怎么样，算出来了没有？”
“还没有呢，你瞧，只算出了一半。”阿普顿一面擦着额头上的汗，一面递过草稿。
爱迪生接过草稿低头一看：嗬，可真了不得，几大张草稿上密密麻麻地写满了数字、符号和一道道算式。他忍不住笑了，拍拍阿普顿的肩膀，说：“你能不能想个简单的方法来计算呢？”
阿普顿红着脸，说：“嗯，让我再试试吧。”他把原来的几张草稿推到一边，整理了一下思路，又埋头思考起来。他绞尽脑汁地想呀想呀，可满脑子的公式怎么也赶不跑。是呀，离开这些公式，可怎么计算出灯泡的容积呢？一向自信心很强的阿普顿，此刻也一筹莫展了。
又过了一会儿，爱迪生默默地走过来，满面笑容地打量了阿普顿一眼，自己拿起那只梨子形玻璃灯泡，略一思考。便端过盛水的杯子，往灯泡里注满水，说：“你看，把这灯泡里的水倒进量杯里，再量出水的体积，不就是这个灯泡的容积了吗？”
阿普顿恍然大悟。哎呀，这么简单的办法自怀怎么就没有想到呢？爱迪生用了不到一分种就解决了问题，自己却花了一两个小时还没有解答出来，他感到很不好意思。
魔术树上的金苹果
匈牙利近代著名作家卡尔曼·米克沙特所著的长篇小说《奇婚记》中有一个很趣味横生的故事：
小说中的女主角比罗什卡的父亲米克洛什·霍尔瓦特是一个博览群书的人。他看到某本书上说到传说中的骑士向某一城堡主人的女儿求婚，必须用剑从魔术树上吹下三只金苹果，大为欣赏。于是，当比罗什卡的大姐罗扎莉雅要选择夫婿时，霍尔瓦特公开宣布，他鄙视官衔、出身和钱财一类的东西，他要把女儿嫁给一个能回答三个问题的聪明人。显然，这三个问题就是霍尔瓦特心目中“魔术树”上的题“三只金苹果”。
那么，这三个问题究竟是些什么问题呢？小说中只叙述了第一个问题，它的大意是这样的：
每天有两辆邮车一起从波若尼城出发驶往勃拉蕭佛城；与此同时，也有两部邮车一起从勃拉蕭佛城沿同一条公路驶往波若尼城。假定两城间的行程需要10天，而且每辆邮车都以相同的速度在整个行程匀速行驶，那么坐在某一辆邮车由波若尼城驶往勃拉蕭佛城的邮车上的人，从出发时算起到抵达勃拉蕭佛城之关，会碰到多少辆从勃拉蕭佛城开往波若尼城的邮车？
看了题目之后，有人也许会脱口而出：“这还不简单？每天有两辆邮车一起从勃拉蕭佛城开出，10天就是20辆。因此，从波若尼城出发，一路过来就会碰到20辆邮车。”如果这样考虑就错了。
其实，从波若尼城出发的车，除了会碰上以所乘邮车出发那天作为第一天往后算的10天内从勃拉蕭佛城开来的车，还会碰上在过去的10天里发出的车。这样一来，从出发时算起到抵达勃拉蕭佛城之前一路上共会碰上40辆邮车。也就是说，由波若尼城出发的邮车在刚出发时正好碰到2辆10天前从勃拉蕭佛城驶来的邮车，而经过10天在抵达勃拉蕭佛城之前的路上又遇到19批计38辆邮车，因此从出发时算起，在抵达勃拉蕭佛城之前10天里共会遇到40辆从勃拉蕭佛城开往波若尼的邮车。
最后需要指出的是，如果题目改为要计算从出发到抵达时所遇到邮车的数字，那么答案应为42辆。这是因为在乘坐的邮车抵达勃拉蕭城目的地时，还会碰到两辆正好出发驶往波若尼城的邮车。
智母亲虎口救女
很久根久以前，有一个小女孩跟着她的母亲到森林里去采蘑菇。采着采着，她离母亲越来越远，不知不觉来到了森林深处的一条小河边。就在这时，一只凶残的老虎突然从丛林中窜出来抓住了小女孩。
母亲听到女儿的呼救声急忙赶了过来。她要求老虎将小女孩还给自己。狡猾的老虎以为猎物已是囊中之物，便故作“大方”，狞笑着对女孩的母亲说：“嘿，你要我将女儿还给你！好吧，那你就回答我一个问题：'我会吃掉你的孩子吗?’答对了，就把女孩还给你。否则，哼！就别怪我不客气了。”
机智的母亲略加思考，然后回答：“你肯定会吃掉我的女儿。”愚蠢的老虎听到回答，立即陷入了自相矛盾的困境。这时。机智而又勇敢的母亲乘机从老虎爪中夺回自己的女儿，迅建离开了森林，平安地返回到家中。
小孩母亲的回答为什么会使老虎陷入困境呢?这是因为对老虎来说，面对母亲的回答，它只有两种选择的可能——吃掉或交出小女孩。如果它吃掉小女孩，就说明母亲答对了，因比老虎应该把小女孩交出来；如果它交出小女孩，企图说明母亲答错，然后把小女孩吃掉，可是这样一来又说明母亲答对了，所以它最终还是不能吃掉小女孩而应该把她还给母亲。
最后得说明的是，母亲千万不能回答：“你会把孩子还给我的。”这样，她便恰好中了老虎的计。狡猾而又愚蠢的老虎原先以为母亲出于疼爱女儿之心必定会这样回答的。因为根据这一回答，老虎就可以将小女孩吃掉，以事实说明母亲答错了。
这个故事所蕴含的数学问题，从逻辑学上讲，称为“悖论”。科学史上一些哲学家、数学家提出的悖论，曾对推动数学理论的研究起过巨大的作用，现代也有一些数学家在不断地
研究它。
古怪的格拉斯岛人习惯
相传很久很久以前，有一个名叫格拉斯的小岛。岛上空气清新，景色迷人，吸引了一批又一批的游客前往观光。
但是，格拉斯岛上有一个极其古怪的习惯：凡是岛上的男人，不论老少，在与来访者交谈时都说真话；而女子则不然，无论老少，他们决不会连续讲两句真话，但也不会都讲假话。如果第一句讲的是真话，第二句必定是假话，反之，第一句是假的，第二句就是真话。更使人难以捉摸的是，如果他们仅说一句，则这句话可能是真话，也可能是假话。
一次，一个旅游者看到一个小孩正由父母领着在海滩上嬉耍，便问小孩：“你是小男孩还是小姑娘?”谁料小孩的回答竟是十分难懂的当地土语。幸好孩子的父母讲的话他还能听得懂。他俩中的一位对来访者说：“孩子说：'我是男孩子’。”可是另一位却指了指他们的孩子说：“孩子在说谎，她是我们的女儿。”这可把来访者搞糊涂了。忽然，他想起了格拉斯岛上的古怪习惯，便弄清了事实的真相。
那个小孩究竟是男的还是女的?孩子的父母是谁先与来访者交谈的?这其实是一个十分有趣的逻辑问题。请看下面的分析：
先不妨假设小孩是男的。根据格拉斯岛人的古怪习惯，这时，第一个与来访者交谈的应是父亲，第二个发言的是母亲。然而，第二个发言的讲了两句前后一致的话，这与格拉斯岛上女人的说话总是一真一假相矛盾。所以，孩子是男的这一假设不能成立。
如果小孩是女的，又有下面两种可能性：
(1)孩子的原话是真的。这说明父母中第一位翻译的话是谎话，第二位说的两句话一真一假，推出前后都是母亲发言，这与题意不符。
(2)孩子的原话是假的(女的说成是男的)。那么，父母中第一位发言的虽然翻译没有错，但不合事实，所以仍是假话，第二位发言者说的两句都是真话，由此可推出第一位发言者是母亲，第二位是父亲。
根据上面的分析，可以断定：小孩是小姑娘。
这个故事虽然听起来有点荒诞，但它所揭示的数学奥秘也是十分有趣的．
克莱梯斯巧治恶人
相传2400前，雅典许多地方流行伤寒症，无数生灵为这场可怕的瘟疫所吞噬。
更为可恨的是，一些财主老爷们不仅不管劳动人民的生死，反而趁火打劫，混水摸鱼，掠夺贫苦人民的财富。
一天，某奴隶主想了个馊主意。他把农奴们召集到广场的神庙前，对大家说：
“太阳神阿婆罗降旨了，庙里香案年年失修，神灵发怒了，才降灾给你们。神灵说，三天之内重做一个正方体形状的香案。神灵息怒后，瘟疫就可平息。”人们听了以后，似乎有了希望。但奴隶主的条件却十分苛刻：
“每家摊派一斗粮食，马上送到我家大院，作为做香案和祈祷的基金……神命难违呀！”
于是，奴隶主家粮屯里的粮食又增加了许多。可是，无情的瘟疫并没有停止，反而更加厉害了，更多的人民在瘟疫中葬身。
不久，奴隶主家里又传出神灵显圣的稍息，通知人们第二天到神庙前集中。
人们嘀嘀咕咕，忧心忡忡。
“什么神灵显圣，全是奴隶主玩的花招!”有人捏紧拳头，怒不可遏。
“不听他的鬼话，我们找克莱梯斯去！”有人建议。
克莱梯斯是一位很受人们尊敬的学者，他对教学很有研究。这天晚上，几个勇敢的青年来克莱梯斯家里商量了半夜。他们想出了一个很巧妙的办法。
第二天，人们又在广场集中了。
奴隶主走上高台，清清嗓子，尖声叫了起来：
“神灵又降旨啦。他嫌香案做得太小，要重做一个。这么办……”
奴隶主正在尖叫时，突然远处几个村民边跑边喊：
“看啦，看啦，大臣来了！快迎接呀！”
一位“大臣”骑着高头大马，后面跟着几十戎装卫兵，很庄重地来到广场。不等“大臣”下马，奴隶主三步并作两步飞跑向前，跪在地上连连叩头：
“不知大人驾到，未曾远迎，死罪，死罪！”
“这里发生了什么事?”“大臣”指着奴隶们，问道。
“这……那……瘟疫……”奴隶主结结巴巴，心里有些发慌。
“大人，上回他骗了我们，说神灵发怒，要重新做香案，一家出了一斗粮食，瘟疫丝毫未息，人照样死。”一个村民控诉着。
“今天他又说，神灵嫌香案太小，又发怒了，要……”另一个村民涨红了脸．大声地叫着。
“我传达国王的旨意。”“大臣”打断了他们的控诉。所有的人都跪下了，尤其是那个奴隶主显得格外虔诚，他的前额紧紧地贴在地上。“大臣”说：
“是的，神灵嫌香案做得太小，要做一个新的。不过，“大臣”指着奴隶主继续说，“这次神灵指定要他做。香案的形状仍然是正方体，体积要是上次做的2倍。如果三天之内做好这个香案，瘟疫就可逐渐平息；如果做得不合要求，就要处死他。”
奴隶主领旨回家，立即找来工匠动工。起初，他以为只要按上次香案的尺寸，把正方体的棱长扩大2倍，就可以了。岂知事与愿违。如果假设上次正方体的棱长为a，那么体积应是a3。这次正方体的棱长为2a，体积应该是8a3.显然，这就扩大了8倍。奴隶主连忙命令工匠把香案改小。但改来改去，不是偏大，就是偏小。
三天过去了，奴隶主因为不懂数学，无法计算出所需正方体的棱长，做不出符合要求的神案，终于受到了人们的惩罚，得到了应有的下场。“大臣”克莱梯斯的妙计成功了。
原来，聪明机智的克莱梯斯是应用历史上著名的三大几何问题之一-------“倍立方问题”，帮助农奴们惩罚了罪行累累的恶人。
真主所要为礼品
大约公元800年前后，有一个古老的阿拉伯国家——苏丹王国正危机四伏。当时，大小官吏一味搜刮民财，军中将士专门欺压百姓。强盗到处横行，外敌不断侵扰。民间广泛流传着这样的话：“真主将要降灾难于这个国家了！”
一天，年轻的苏丹国王穆罕默德·啥里发忽然召集来所有的宫庭大臣。他面带愁容地坐在椅子上，时而用手撑着前额，时而用拳击着椅子，不断发出无可奈何的叹息声。这时，宰相恭恭敬敬地前去行礼，小心翼翼地询问国王为何忧心忡忡、心乱意烦。
国王说：“前天晚上，我做了一个十分奇怪的梦。我梦见去世了的祖父，慈祥的老人神情严峻地告诉我，真主要降灾难于我们的国家了。这句话，老人清楚地连说了三遍。我原来只以为是一个恶梦，可昨天晚上我又梦见了祖父，他把这句话又说了三遍。我害怕了，问他有什么办法能祈求真主宽恕我们，免遭灾祸。老人说只有一个办法：用金子做成一种长方形，这种长方形的长与宽都是3尺的整数倍，而它的周长数恰好等于它的面积数，把所有大小不同的这样的长方形供祭真主，才能消免灾祸。”
宰相和大臣们听了嘘了一口气，他们想，原来贪玩的国王要钱，那只要从老百姓那儿再搜刮一些便行了。宰相上前说：“尊敬的陛下，请放心，我们一定把这样的长方形供奉给真主。”啥里发便命令宰相务必在三天内将长方形做好，否则接欺君罪国法处之。
三天之后，宰相禀告国王，金长方形已经做好了，已供在神坛上。国王与众大臣来到神殿，跪拜在地，望着神坛上那金光灿灿的长方形，祈求真主保佑。
过了一会，国王神情严肃地问宰相：“这个金长方形长多少?宽多少?”
宰相答道：“尊敬的陛下，长9尺，宽3尺，它们都是3尺的整数倍。”
国王又问：“周长多少?面积多少?”
宰相答道：“周长24，面积27。”
国王问；“它们相等吗？”
“……”宰相被问得瞠目结舌。
国王发怒地说：“我要求的是周长数与面积数相等，可你的长方形周长数比面积数少。连算术也不会做，你还能治理国家吗?来人，把他抓起来，送到监狱里去。”
这时，大臣们一个个吓得直哆嗦。哈里发对大臣们说；“真主正在降灾难于我们。前天。敌人又侵占我们一个村落，抢走了羊群，掳去百姓。我们要拯救我们的国家呀！”他又命令财政大臣在三天之内完成祭神之事。
财政大臣不敢违命，只得苦想。最后，他做了一个长4尺，宽4尺，周长为1 6，面积也恰好是l
6的长方形，献进王宫。显然，4不是3的整数倍，财政大臣也被押进了监狱。
啥里发最后对所有的大臣们说：“真主正在进一步降灾难于我们。现在，国内到处是饥荒与疾病，可你们却不拯救祖国。我命令你们三天内献出供奉真主的祭品，否则统统治你们的罪。”
三天后，大臣们一一被士兵押进了王宫。他们谁也没有做出国王所要求的那种金长方形，而是拿出了无数平时搜刮来的财宝，以求国王的宽恕。国王看着这一切，大声叹息道：“真主啊？难道你真的要我们都灭亡吗?谁来拯救我们的国家和人民?”
这时，只听得一声沉着有力的声音：“陛下，真主所要的礼品在这里。”说这话的人名叫花拉子密。花拉子密是古代阿拉伯的一位杰出的数学家，是哈里发的老师。
花拉子密双手捧着一个盘子，盘子里放着一个金箔做成的长方形，走到国王跟前，说：“这就是真主所要的祭品。”
哈里发仔细地看着这个长方形。它长6尺，宽3尺，都是3的整数倍；周长数与面积数都是l8，恰好相等。哈里发微微点了点头，叉问：“真主要所有不同大小的这样的长方形，你怎么只献了一个?”
花拉子密向啥里发行了一个扎，说：“尊敬的陛下，真主与人民给了我智慧和力量，托陛下的福，我反复地算了，真主所要的礼品就只有这么一个。”他叫人拿来一张很大的羊皮纸用炭笔在上面写了一个又一个的算式。他的眼光里充满着智慧，声音里洋溢着自信与力量，不一会儿就把问题讲解得清清楚楚。
哈里发兴奋地站了起来，喊道：“对！对”真主所要的礼品就是这一个，我们的国家有救了。他下令三天后举行隆重的祭礼，借此来振奋人心。
接着，年轻有为的穆罕默德·哈里发处置了一批贪官污吏，罢黜了无能的将领，选用良才，整顿军队，苏丹王国又逐渐强大繁荣起来了。
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