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几何图形综合探究—动态问题与非动态问题(重磅/优选)

2020-03-27  鼎新教育

【几何图形综合探究—综合类型

以[2012年沈阳24题]为例:综合考查了等腰三角形的性质、三角形中位线定理、解直角三角形以及全等三角形的判定与性质.

【原题再现】

【思维教练】(1)过点P作PQ⊥AB于点Q.根据等腰三角形的“三线合一”的性质推知AQ=BQ=(1/2)AB,然后在直角三角形中利用特殊角的三角函数的定义可以求得AP的长度;


【思维延伸】(2)作辅助线PH、PK(过点P分别作PH⊥OM于点H,PK⊥ON于点K)构建全等三角形△APH≌△BPK;然后根据全等三角形的性质推知PH=PK;最后由角平分线的性质推知点P在∠MON的平分线上;


【思维教练】(3)①由三角形中位线的性质可证四边形CDEF是平行四边形,当AB⊥OP时,则四边形CDEF是矩形,详细解析如下图。

【思维教练】(3)②当AB与OP不垂直时,需要先分析点A最远运动到什么位置,即线段OA最长为多少;四边形CDEF的周长取决于OP的长度,当OP最长时,则周长最大,反之最小,同时要考虑端点值的取舍。

对于(3)②小编利用定弦定角模型分析:

线段AB的长度始终固定不变,圆心角∠AP'B始终是120°,那么∠MON是60°为定角


【思维延伸】由中位线定理可知,四边形CDEF的周长由OP的长度决定,

其中CD+EF=AB(定弦),CF+DE=OP

动图观察可知,当O、P'、P三点共线时,线段OP的值最大;当点O与点A或者是点B重合时,线段OP的值最小。



【几何图形综合探究—新定义问题

以[2013年沈阳24题]为例:

【原题再现】

【思维教练】(1)由AAS可以证明△AOE和△FOB全等,则OE=OB,即点O是线段BE的中点,那么线段AO是边BE的中线;

【思维教练】(2)△AOE和△DOE是“友好三角形”,可知点E是线段AD的中点,则点F是线段BC的中点;△AOB和△AOE是“友好三角形”,所以可得△AOD和△ABF的面积相等;

【思维教练】(探究)在ΔABC中 , ∠ A=30° , AB=4 , 点D在线段AB上 , 连接CD , ΔACD和ΔBCD是“友好三角形 ” , 将ΔACD沿CD所在直线翻折 , 得到ΔA′CD , 若ΔA′CD与ΔABC重合部分的面积等于ΔABC面积的( 1/4) , 请直接写出ΔABC的面积 .

【第一种情况】

1、由“友好三角形”证的点E是线段BD的中点,也是线段A'C的中点

【第一种情况】

2、证得四边形A'BCD是平行四边形,解释点C与点F重合,

【第一种情况】

3、作出标准图形后开始解△ABC的面积。

【思维教练】点A的对应点可能落在AB的左侧,也可能落在AB的右侧;此时可以证得四边形ADA'C是菱形,过点C作CF⊥AB,将30°角放在一个直角三角形中,解出CF的长度,即△ABC的边AB上的高。

【第二种情况】

【几何图形综合探究—综合类型

以[2014年沈阳24题]为例:

【原题再现】

【思维教练】(1)由菱形的对角线互相垂直且平分得,OB=12,借助勾股定理求解即可。

【思维教练】(2)由△AFM为等边三角形,∠M=∠AFM=60°,借助FA=FC,可解出30°角,求出∠MAC=90°,在Rt△ACM中,tanM的值.

【思维教练】(3)可以证明△AEM≌△ABF,△AEM的面积为40,则△ABF的面积也为40,(1)中已知AO=5,可以求出BF,再利用勾股定理求出AF的值,即可得出△AFM的周长。

笔锋在此稍作停顿、在此留些笔墨给自己,那些描写自己的只言片语,现在却不知从何翻阅。享受着思绪随敲击键盘十指跳跃的快乐。不知道从什么时候开始走近数学,每个夜晚,在这个时候习惯性地埋首在电脑面前,用键盘记录着被洗礼过的心情!于是,习惯了沉溺其中,数学的海洋之中。我想用数学养心,用心思考!我愿意在压轴题里盛满心情,写出心灵真实的坦白;我想把所有的酸甜苦辣、喜怒哀乐都表达出来,使心灵憩息在这数学的海洋,归于平静坦然。这就是我,保持一颗积极向上的心,因为坚持就有希望

【几何图形综合探究—折叠问题

以[2015年沈阳24题]为例:

【原题再现】

【思维教练】(1)①根据点到直线距离与平行线间距离的相关内容,应用解直角三角形即可;


【思维教练】(1)②根据平行四边形的性质和折叠的性质得出:

∠B=∠G,∠BCE=∠GCF,BC=GC,然后根据AAS即可证明;


【思维教练】(1)③过E点作EP⊥BC于P,解直角三角形求得,然后根据折叠的性质和勾股定理求得EC,进而根据三角形的面积就可求得;


【思维教练】(2)已知点H落在射线BC上,且CH=1,所以要分两种情况讨论,一种点H在线段BC上,另一种点H在射线BC上。

第一种情况:



第二种情况:


【几何图形综合探究—旋转问题

以[2016年沈阳24题]为例:

【原题再现】

【思维教练】(1)由旋转的性质可得等腰三角形,再加上60°的旋转角,即可证的等边三角形;以此类推,如果旋转角为90°,即可得到等腰直角三角形;


【思维教练】(2)如下图,我们可以观察到,△ADE在旋转一周的过程中,共有4次使得∠DAG=∠ACB。


其中有两次线段DG与线段AE有公共点;另外两次则无公共点,且满足以A、E、C、B为顶点的四边形为平行四边形和菱形。但是题目中给出旋转角α的取值范围:0°<α<180°,所以这一问只有一种答案,就是当△ADE在直线AB的下方时,此时四边形AEBC是菱形。



【几何图形综合探究—非动态问题

以[2017年沈阳24题]为例

【原题再现】

【思维教练】(1)作FM⊥AB于M,由AAS证明△EFM≌△CAB,得出FM=AB=4,AM=BC=4,求出BM=AB+AM=8,由勾股定理即可得出答案;


【思维延伸】(2)构造全等即可,点F到AD的距离即为FH的长;


【思维延伸】(3)题目“点E在边AD所在的直线上”,所以可以分析,要分为两种情况讨论.在A点的左侧一种,在A点的右侧有一种。

【点E在点A的左侧时】解得: AE=1

【点E在点A的右侧时】解得:AE=2+√(41)

【几何图形综合探究—非动态问题

以[2018年沈阳24题]为例

【原题再现】

【思维教练】


【思维教练】


【思维教练】第一种情况:随着α的变化,点N靠近点B时,


【思维教练】第二种情况:随着α的变化,点N靠近点C时,


【思维教练】(3)点N是BC边上的三等分点,可能BN=(1/3)BC或者CN=(1/3)BC


【思维教练】第二种情况:


【思维教练】手绘图-分析


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