【中考复习】正方形其一：正方形与对称、旋转

当我们学习完了全等、勾股、相似，平移、对称、旋转，如果还想再加点料的话，不妨看看正方形．

正方形是一种既简单又复杂的图形，其图形本身很基本、简单，因而在此基础上可以作很多复杂的变形与构造，我们所知的几何内容，一个都不缺．本专题以近两年中考题为例，简单了解关于正方形在中考题中的应用．

本文将介绍三个方面的内容：

（1）正方形与对称；

（2）正方形与旋转；

（3）反相似手拉手．

01

正方形与对称

正方形既是轴对称图形，也是中心对称图形，关于对称可以考察对称的基本性质，也可以有关于构造对称，而涉及到计算的，无非就是勾股或者三角函数．且看相关例子：

图形的基本性质

求线段长度——勾股定理

对称的性质——对称点连线被对称轴垂直且平分

对称的性质——对称点连线被对称轴垂直且平分

构造对称——将军饮马问题

构造对称——不一样的将军饮马

02

正方形与旋转

关于旋转，关注点在于①绕哪个点旋转；②是否是特殊角度．对于正方形，可绕其中一顶点旋转，可绕对角线交点旋转，大致如下：

（1）绕顶点旋转的手拉手模型

（2）绕O点的等腰直角共点旋转

看几个关于旋转的简单例子：

旧题重看——正方形手拉手模型

共点旋转——以对角线交点为旋转点

旋转——旋转点在对角线上的旋转

若已知旋转，寻找其中的全等或相似即可，而构造旋转，往往更考验对图形构造及旋转的理解．关于正方形的共点旋转，有如下结论：

在正方形ABCD中，点P是正方形内一点，

若满足∠APD=135°，则有2PA²+PD²=PB²．

反之，若2PA²+PD²=PB²，则∠APD=135°．（在旋转章节中有过介绍）

2018烟台中考——旋转的构造

关于正方形的旋转大题也有很多，举一例：

探究正方形的旋转

03

反相似手拉手模型

在上一个例题中不难得出这样一个图形：

若连接两个正方形的对角线，则会有一组旋转型相似，这里其实利用的是等腰直角三角形直角边与斜边的比例关系，可将图形简化如下：

连接起对角线，转化成等腰直角三角形，则还另有结论．

如图，正方形ABCD与正方形CEFG共顶点C，连接CA、CF，取AF中点M．

连接ME、MD，则有：MD=ME，ME⊥ME．

连接MB、MG，则有：MB=MG，MB⊥MG．

在说这个证明之前，我们要说说一个模型：

反相似手拉手模型（苏州学而思徐杰老师取名）

手拉手模型：四线共点、两两相等、夹角相等，即可构成一组旋转型全等，称之为手拉手模型．如图，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE，即可得：△ABD≌△ACE．

手拉手相似：改变全等的条件，即线段由相等变为成比例，AB:AC=AD:AE，∠BAC=∠DAE，即可构成手拉手相似．

可将条件化为：当△ABC和△ADE为直角三角形，且∠BAC=∠DAE，

可得△ABE∽△ACE．

反相似手拉手：将其中一个三角形“反”过来，故称反相似手拉手．

特别地，△ABC和△ADE是等腰直角三角形，则有FC=FE，FC⊥FE．

模型证明

在△ABC中，分别以AB、AC为斜边分别向外侧作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，∠ADB=∠AEC=90°，F为BC边中点，连接DF、EF，求证：DF=EF，DF⊥EF．

法1：构造中位线与斜边中线

法2：还原手拉手

法3：倍长中线

法4：构造三垂直模型

中考题中的反相似手拉手：

动态探究——运动中的反相似手拉手

方法提炼——静止的反相似手拉手观察

【写在最后】正方形作为一类题型，与知识点不同，有些地方考，有些地方不考，可根据往年考试题预估，如果考的不多那看看就行．