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【中考数学专题】三大变换之旋转(半角模型)

2020-03-29  鼎新教育

半角模型是全等三角形中一种常见的模型,如果说三垂直偏方法,手拉手半题型半方法,那么半角模型就是彻彻底底的一种题型,本文将介绍常见的半角模型结论.
常见的半角模型可以分为“90°+45°”和“120°+60°”两种,其中“90°+45°”居多,而表现形式通常是在正方形中.
01
半角模型—90°+45°

两个基本结论其一

如图,在正方形ABCD中,E、F分别在BC、CD上,且∠EAF=45°连接EF.

结论1:EF=BE+DF.

证明:延长CD至点G使得DG=BE【截长】

易证:△ABE≌△ADG(SAS)→ AE=AG,∠GAF=45°

易证:△AFE≌△AFG(SAS)→ EF=GF

综上:EF=GF=GD+DF=BE+DF.

【变式】若E、F分别在CB、DC延长线上时,结论变为:EF=DF-BE.

证明:在DC上取点G使得DG=BE【补短】

易证:△ABE≌△ADG(SAS)→ AE=AG,∠GAF=45°

易证:△AEF≌△AGF(SAS)→ EF=GF

综上:EF=GF=DF-DG=DF-BE

【小结】截长、补短只是形式,关键点在于已知半角的情况下,构造相应的另一个半角.此处通过旋转,想要将一个图形毫无违和地旋转到另一位置,需要:邻边相等,对角互补.正方形可满足一切你所想.

两个基本结论其二

结论2:连接AD,与AE、AF分别交于M、N,

则:MN²=BM²+DN².

证明:构造△ADM’≌△ABM → AM=AM’,∠MAN=∠M’AN,BM=DM’

易证:△AMN≌△AM’N(SAS)→ MN=M’N

易证:△M’DN是直角三角形 →M'N²=M'D²+DN²→MN²=BM²+DN².

除了以上两个常用结论外,在这个图形还有一些其他有趣的结论.

结论3

若BE=1/3BC,则点F是CD边中点.反之亦然.

结论4

过点A作AH⊥EF交EF于H点,则△ABE≌△AHE,△AHF≌△ADF.

另外还可得:AE平分∠BEF,AF平分∠DFE.

结论5

A、B、E、N四点共圆,A、D、F、M四点共圆.

证明:∠EAN=∠EBN=45°,∴A、B、E、N四点共圆.同理可证A、D、F、M四点共圆.

另外还可得:连接EN、MF,可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形.

结论6

M、N、F、E四点共圆.

证明:∵∠MEF=∠MFN,∴M、N、F、E四点共圆.

结论7

△AMN∽△AFE.且相似比AF:AM=根号2.

由构图3可得∠ANM=∠AEF,∠AMN=∠AFE.可得△AMN∽△AFE.

结论8

△MAN∽△MDA,△NAM∽△NBA.

结论9

连接AC,则△AMB∽△AFC,△AND∽△AEC.且AF:AM=AC:AB=根号2.

【小结】从结论5开始,后面的可能都用不上,但既然半角模型作为题型出现,了解下图形的更多性质有时候能帮上大忙.在这里除了给的∠EAF=45°外,正方形对角线也会形成其他45°角,多组相等角总能撞出些火花.


【思考】对于以上9个结论,在正方形中,有哪些作为条件能推出∠EAF=45°的?

02
半角模型—120°+60°

半角模型—120°+60°

如图,△ABC是等边三角形,BD=CD且∠BDC=120°,E、F在直线AB、AC上且∠EDF=60°
结论:EF=BE+CF

证明:延长AC至点G使得CG=BE,

易证:△DBE≌△DCG(SAS)→ DE=DG,∠FDG=∠FDE=60°
易证:△DFE≌△DFG(SAS)→ EF=GF
综上:EF=GF=GC+CF=BE+CF

【思考】若点F在AC的延长线上,EF、BE、CF之间又有何数量关系?

03
中考真题

2016徐州中考

2017贺州中考

2019随州中考

2018遂宁中考

来源:有一点数学,作者刘岳

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