绝密本科目考试启用前
2017年普通高等学校招生全国统一考试
（北京卷）
本试卷共5页，150分考试时长120分钟考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回
第一部分（选择题共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项
（1）若集合，则=
（A）（B）
（C）（D）
（2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，则实数的取值范围是
（A）（B）
（C）（D）（3）执行如图所示的程序框图，输出的值为
（A）（B）（C）（D）（4）若满足则的最大值为
（A）1（B）3
（C）5（D）9（5）已知函数，则
（A）是奇函数，且在R上是增函数 （B）是偶函数，且在R上是增函数
（C）是奇函数，且在R上是减函数 （D）是偶函数，且在R上是减函数（6）设为非零向量，则“存在负数，使得”是“”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件（7）某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为
（A）（B）（C）（D）2（8）根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为.则下列各数中与最接近的是（参考数据：lg3≈0.48）
（A）（B）
（C）（D）
第二部分（非选择题共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分
（9）若双曲线的离心率为，则实数=_________.（10）若等差数列和等比数列满足则=_______.（11）在极坐标系中，点在圆上，点的坐标为（1,0），则的最小值为___________.（12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于轴对称.若，___________.
（13）能够说明“设是任意实数．若则”是假命题的一组整数的值依次为______________________________．（14）三名工人加工同一种零件，他们在一天中的工作情况如图所示，其中点的横、纵坐标分别为第名工人上午的工作时间和加工的零件数，点的横、纵坐标分别为第名工人下午的工作时间和加工的零件数，=1，2，3.
记为第名工人在这一天中加工的零件总数，则中最大的是______.
记为第名工人在这一天中平均每小时加工的零件数，则中最大的是_________.
三、解答题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程
（15）（本小题13分）
在中，
（）求的值；
（）若求的面积.
（16）（本小题14分）
如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面平面，点在线段上平面
（I）求证：为的中点；
（II）求二面角的大小；
（III）求直线与平面所成角的正弦值．
（17）（本小题13分）
为了研究一种新药的疗效，选100名患者随机分成两组，每组各50名，一组服药，另一组不服药，一段时间后，记录了两组患者的生理指标和的数据，并制成下图，其中“”表示服药者，“+”表示为服药者.
（Ⅰ）从服药的50名患者中随机选出一人，求此人指标的值小于60的概率；
（Ⅱ）从图中A，B，C，D四人中随机选出两人，记为选出的两人中指标的值大于1.7的人数，求的分布列和数学期望；
（Ⅲ）试判断这100名患者中服药者指标数据的方差与未服药者指标数据的方差的大小.（只需写出结论）
已知抛物线过点,过点作直线与抛物线交于不同的两点，过点作轴的垂线分别与直线交于点，其中为原点.
（）求的方程，并求其焦点坐标和准线方程；
（）求证：的中点.
（19）（本小题13分）
已知函数
（）求曲线在点处的切线方程；
（）求函数在区间上的最大值和最小值.
（20）（本小题13分）
设和是两个等差数列，记
，
其中表示这个数中最大的数．
（）若，，求的值，并证明是等差数列；
（）证明：或者对任意正数，存在正整数，当时，；或者存在正整数，使得是等差数列．
2017年普通高等学校招生全国统一考试
（北京卷）
一、选择题
（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）二、填空题（9）（10）（11）（12）（13）（14）
三、解答题
（15）（1）根据正弦定理
（2）当时
（16）（1）连接AC，BD..连接OM
PD∥平面MAC平面PBD平面MAC=MO
PD∥MO
∵O为BD中点
M为PB中点
（2）取AD中点，连接P
∵PA=PD
∴PG⊥AD
又平面PAD平面ABCD且平面PAD平面ABCD=ADPG⊥平面ABCD
以G为坐标原点，分别以GD,GO,GP所在直线为x,y,z轴，建立如图所示坐标系
则B(-2，4，0)P(0，0，)D(2，0，0)A(-2，0，0)
易知平面PDA的法向量
设平面BPD的法向量，则
∴二面角B-PD-A的平面角
（3）解：
，平面PAD的一个法向量为
所以，直线MC与平面BDP所成角的正弦值为
（17）解：
（Ⅰ）由图知：在50名服药患者中，有15名患者指标y的值小于60，则从服药的50名患者中随机选出一人，此人指标小于60的概率为：
（Ⅱ）由图知：A、C两人指标x的值大于1.7，而B、D两人则小于1.7，可知在私人中随机选出的2人中指标x的值大于1.7的人数的可能取值为0,1,2.
，
，
，
所以，的分布列如下：
0 1 2 P
（Ⅲ）由图知100名患者中服药者指标y数据的方差比未服药者指标y数据的方差大。
（18）解：
（Ⅰ）因为抛物线过点，
把代入，得
∴
∴焦点坐标，准线为。
（Ⅱ）设过点的直线方程为
直线，直线
由题意知
由，可得
∴A为线段BM中点。
（19）（）
∴曲线在点处的切线斜率为
切点为，
∴曲线在点处的切线方程为
（）
则
当，可得，
即有在上单调递减，可得，
所以在上单调递减，
所以函数在区间上的最大值为；
最小值为
（20），
当时，，
当时，，
当时，，
下面证明：
对于且，都有，
当且时，
因为，且，所以
所以，对于且，
所以，
又
所以是等差数列。
（Ⅱ）
（1）设、的公差为，对于
其中任意项（,1
若
则对于给定的正整数n，
此时，故数列为等差数列
若，则
则对于给定正整数，
此时，∴数列为等差数列
（2）若，此时为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，
故必存在，使得时，
则当时，
因此，当时，
所以，是从第m项开始为等差数列。
（3）若，此时为一个关于n的一次项系数为整数的一次函数，
故必存在，使得时，，
则当时，
因此当时，
此时，
令
下面证明：对任意正整数，存在正整数，使得时，
若，取([]表示不大于的最大整数)
当时，
此时命题成立
若，取
当时，此时命题成立。
综上，对任意正整数存在，使得当时，
综合以上三种情况，命题得证.
历年高考试题及答案
历年全国高考试题
|
|
