初中数学必考二次函数专题训练
1、如图9（1），在平面直角坐标系中，抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，与x轴交于另一点C，顶点为D．
（1）求该抛物线的解析式及点C、D的坐标；
（2）经过点B、D两点的直线与x轴交于点E，若点F是抛物线上一点，以A、B、E、F为顶点的四边形是平行四边形，求点F的坐标；
（3）如图9（2）P（2，3）是抛物线上的点，Q是直线AP上方的抛物线上一动点，求△APQ的最大面积和此时Q点的坐标．
?
2、随着我市近几年城市园林绿化建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y2与投资成本x成二次函数关系，如图②所示（注：利润与投资成本的单位：万元）
图①????????????????????图②
（1）分别求出利润y1与y2关于投资量x的函数关系式；
（2）如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，请求出他所获得的总利润Z与投入种植花卉的投资量x之间的函数关系式，并回答他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？
3、如图，为正方形的对称中心，，，直线交于，于，点从原点出发沿轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点从出发沿方向以个单位每秒速度运动，运动时间为．求：
（1）的坐标为???????????????；
（2）当为何值时，与相似？
（3）求的面积与的函数关系式；并求以为顶点的四边形是梯形时的值及的最大值．
4、如图①，正方形ABCD的顶点A,B的坐标分别为，顶点C,D在第一象限．点P从点A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动，同时，点Q从点E(4,0)出发，沿x轴正方向以相同速度运动．当点P到达点C时，P,Q两点同时停止运动，设运动的时间为t秒．
（1）求正方形ABCD的边长．
（2）当点P在AB边上运动时，△OPQ的面积S（平方单位）与时间t（秒）之间的函数图象为抛物线的一部分（如图②所示），求P,Q两点的运动速度．
（3）求（2）中面积S（平方单位）与时间t（秒）的函数关系式及面积取最大值时点的坐标．
（4）若点P,Q保持（2）中的速度不变，则点P沿着AB边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而增大；沿着BC边运动时，∠OPQ的大小随着时间的增大而减小．当点沿着这两边运动时，使∠OPQ=90°的点有个．
5、如图，在梯形中，厘米，厘米，的坡度动点从出发以2厘米/秒的速度沿方向向点运动，动点从点出发以3厘米/秒的速度沿方向向点运动，两个动点同时出发，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止．设动点运动的时间为秒．
（1）求边的长；
（2）当为何值时，与相互平分；
（3）连结设的面积为探求与的函数关系式，求为何值时，有最大值？最大值是多少？
?
6、已知抛物线（）与轴相交于点，顶点为.直线分别与轴，轴相交于两点，并且与直线相交于点.
(1)填空：试用含的代数式分别表示点与的坐标，则；
(2)如图，将沿轴翻折，若点的对应点′恰好落在抛物线上，′与轴交于点，连结，求的值和四边形的面积；
(3)在抛物线（）上是否存在一点，使得以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由.
?
7、已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象交x轴于点A(x0，0)和点B(2，0)，与y轴的正半轴交于点C，其对称轴是直线x＝－1，tan∠BAC＝2，点A关于y轴的对称点为点D．
(1)确定A.C.D三点的坐标；
(2)求过B.C.D三点的抛物线的解析式；
(3)若过点(0，3)且平行于x轴的直线与(2)小题中所求抛物线交于M.N两点，以MN为一边，抛物线上任意一点P(x，y)为顶点作平行四边形，若平行四边形的面积为S，写出S关于P点纵坐标y的函数解析式．
(4)当＜x＜4时，(3)小题中平行四边形的面积是否有最大值，若有，请求出，若无，请说明理由．
8、如图，直线AB过点A(m,0)，B(0,n)(m>0,n>0)反比例函数的图象与AB交于C，D两点，P为双曲线一点，过P作轴于Q，轴于R，请分别按(1)(2)(3)各自的要求解答闷题。???
(1)若m+n=10，当n为何值时的面积最大?最大是多少?
(2)若，求n的值：
(3)在(2)的条件下，过O、D、C三点作抛物线，当抛物线的对称轴为x=1时，矩形PROQ的面积是多少?
9、已知A1、A2、A3是抛物线上的三点,A1B1、A2B2、A3B3分别垂直于x轴，垂足为B1、B2、B3，直线A2B2交线段A1A3于点C。
（1）如图1，若A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，求线段CA2的长。
（2）如图2，若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，求线段CA2的长。
（3）若将抛物线改为抛物线，A1、A2、A3三点的横坐标为连续整数，其他条件不变，请猜想线段CA2的长（用a、b、c表示，并直接写出答案）。
10、如图，现有两块全等的直角三角形纸板Ⅰ，Ⅱ，它们两直角边的长分别为1和2．将它们分别放置于平面直角坐标系中的，处，直角边在轴上．一直尺从上方紧靠两纸板放置，让纸板Ⅰ沿直尺边缘平行移动．当纸板Ⅰ移动至处时，设与分别交于点，与轴分别交于点．
（1）求直线所对应的函数关系式；
（2）当点是线段（端点除外）上的动点时，试探究：
①点到轴的距离与线段的长是否总相等？请说明理由；
②两块纸板重叠部分（图中的阴影部分）的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值及取最大值时点的坐标；若不存在，请说明理由．
11、OM是一堵高为2.5米的围墙的截面，小鹏从围墙外的A点向围墙内抛沙包，但沙包抛出后正好打在了横靠在围墙上的竹竿CD的B点处，经过的路线是二次函数图像的一部分，如果沙包不被竹竿挡住，将通过围墙内的E点，现以O为原点，单位长度为1，建立如图所示的平面直角坐标系，E点的坐标(3，)，点B和点E关于此二次函数的对称轴对称，若tan∠OCM=1(围墙厚度忽略不计)。?
(1)求CD所在直线的函数表达式；
(2)求B点的坐标；
(3)如果沙包抛出后不被竹竿挡住，会落在围墙内距围墙多远的地方?
12、已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数的图象与x轴交于点A，抛物线经过O、A两点。
?（1）试用含a的代数式表示b；
（2）设抛物线的顶点为D，以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D内，它所在的圆恰与OD相切，求⊙D半径的长及抛物线的解析式；
（3）设点B是满足（2）中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P，使得？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。
13、如图，抛物线交轴于A．B两点，交轴于M点.抛物线向右平移2个单位后得到抛物线，交轴于C．D两点.
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）抛物线或在轴上方的部分是否存在点N，使以A，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形.若存在，求出点N的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）若点P是抛物线上的一个动点（P不与点A．B重合），那么点P关于原点的对称点Q是否在抛物线上，请说明理由.
14、已知四边形是矩形，，直线分别与交与两点，为对角线上一动点（不与重合）．
（1）当点分别为的中点时，（如图1）问点在上运动时，点、、能否构成直角三角形？若能，共有几个，并在图1中画出所有满足条件的三角形．
（2）若，，为的中点，当直线移动时，始终保持，（如图2）求的面积与的长之间的函数关系式．
15、如图1，已知抛物线的顶点为，且经过原点，与轴的另一个交点为．（1）求抛物线的解析式；
（2）若点在抛物线的对称轴上，点在抛物线上，且以四点为顶点的四边形为平行四边形，求点的坐标；
（3）连接，如图2，在轴下方的抛物线上是否存在点，使得与相似？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
?
16、如图，已知抛物线经过原点O和x轴上另一点A,它的对称轴x=2与x轴交于点C，直线y=-2x-1经过抛物线上一点B(-2,m)，且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.
（1）求m的值及该抛物线对应的函数关系式；
（2）求证：①CB=CE；②D是BE的中点；
（3）若P(x，y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.
17、如图，抛物线与轴交于A、B两点（点A在点B左侧），与y轴交
于点C，且当=0和=4时，y的值相等。直线y=4x-16与这条抛物线相交于两点，其中一点的横坐标是3，另一点是这条抛物线的顶点M。
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）P为线段OM上一点，过点P作PQ⊥轴于点Q。若点P在线段OM上运动（点P不与点O重合，但可以与点M重合），设OQ的长为t，四边形PQCO的面积为S，求S与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围；
（3）随着点P的运动，四边形PQCO的面积S有最大值吗？如果S有最大值，请求出S的最大值并指出点Q的具体位置和四边形PQCO的特殊形状；如果S没有最大值，请简要说明理由；
（4）随着点P的运动，是否存在t的某个值，能满足PO=OC？如果存在，请求出t的值。
试卷答题纸
1、解：（1）∵抛物线经过A（-1，0）、B（0，3）两点，
∴???解得：??
?????????????????????
抛物线的解析式为：??
∵由，解得：
∴??????????
∵由
∴D（1,4）???????????
（2）∵四边形AEBF是平行四边形，
∴BF=AE．
设直线BD的解析式为：，则∵B（0，3），D（1,4）
∴????????解得：??
???????????????????
∴直线BD的解析式为：?
当y=0时，x=-3??∴E（-3，0），∴OE=3，
∵A（-1，0）
∴OA=1，??∴AE=2????∴BF=2，
∴F的横坐标为2，?∴y=3，??∴F（2，3）；
（3）如图，设Q，作PS⊥x轴，QR⊥x轴于点S、R，且P（2，3），
∴AR=+1，QR=，PS=3，RS=2-a，AS=3?
∴S△PQA=S四边形PSRQ+S△QRA-S△PSA
=
=
∴S△PQA=
????????
∴当时，S△PQA的最大面积为，
此时Q???
2、（1）设y1=kx，由图①所示，函数y1=kx的图象过（1，2），
所以2=k?1，k=2，
故利润y1关于投资量x的函数关系式是y1=2x，
∵该抛物线的顶点是原点，
∴设y2=ax2，
由图②所示，函数y2=ax2的图象过（2，2），
∴2=a?22，，
故利润y2关于投资量x的函数关系式是：y2=x2；
（2）设这位专业户投入种植花卉x万元（0≤x≤8），则投入种植树木（8－x）万元，他获得的利润是z万元，根据题意，得z=2（8－x）+x2=x2－2x+16=（x－2）2+14，
当x=2时，z的最小值是14，
∵0≤x≤8，∴当x=8时，z的最大值是32．
3、（1）Ｃ（４，１）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
（2）当∠MDR＝45０时，ｔ＝2,点Ｈ（2，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分
当∠DRM＝45０时，ｔ＝3,点Ｈ（3，0）．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．???????２分
（３）Ｓ＝－ｔ２＋２ｔ（０＜ｔ≤４）；（1分）Ｓ＝ｔ２－２ｔ（ｔ＞４）（1分）
当ＣＲ∥ＡＢ时，ｔ＝，（1分）???Ｓ＝???（1分）
当ＡＲ∥ＢＣ时，ｔ＝，??????????Ｓ＝????（1分）
当ＢＲ∥ＡＣ时，ｔ＝，??????????Ｓ＝????（1分）
4、解：（1）作BF⊥y轴于F。
因为A（0，10），B（8，4）
所以FB=8，FA=6
所以
（2）由图2可知，点P从点A运动到点B用了10秒。
又因为AB=10，10÷10=1
所以P、Q两点运动的速度均为每秒1个单位。
（3）方法一：作PG⊥y轴于G
则PG//BF
所以，即
所以
所以
因为OQ=4+t
所以
即
因为
且
当时，S有最大值。
方法二：当t=5时，OG=7，OQ=9
设所求函数关系式为
因为抛物线过点（10，28），（5，）
所以
所以
所以
因为
且
当时，S有最大值。
此时
所以点P的坐标为（）。
（4）当点P沿AB边运动时，∠OPQ由锐角→直角→钝角；当点P沿BC边运动时，∠OPQ由钝角→直角→锐角（证明略），故符合条件的点P有2个。
5、解：（1）作于点，
?
如图所示，则四边形为矩形．
又
在中，由勾股定理得：
（2）假设与相互平分．
由
则是平行四边形（此时在上）．
即
解得即秒时，与相互平分．
（3）①当在上，即时，
作于，则
即
=
当秒时，有最大值为
②当在上，即时，
=
易知随的增大而减小．
故当秒时，有最大值为
综上，当时，有最大值为
6、
?
（1）.
（2）由题意得点与点′关于轴对称，，
将′的坐标代入得，
（不合题意，舍去），.
，点到轴的距离为3.
，，直线的解析式为，
它与轴的交点为点到轴的距离为.
.
（3）当点在轴的左侧时，若是平行四边形，则平行且等于，
把向上平移个单位得到，坐标为，代入抛物线的解析式，
得：
（不舍题意，舍去），，
.
当点在轴的右侧时，若是平行四边形，则与互相平分，
．
与关于原点对称，，
将点坐标代入抛物线解析式得：，
（不合题意，舍去），，．
存在这样的点或，能使得以为顶点的四边形是平行四边形．
7、解：(1)∵点A与点B关于直线x＝－1对称，点B的坐标是(2，0)
∴点A的坐标是(－4，0)???????????????
由tan∠BAC＝2可得OC＝8
∴C(0，8)????????????????????????????
∵点A关于y轴的对称点为D
∴点D的坐标是(4，0)??????????????????
(2)设过三点的抛物线解析式为y＝a(x－2)(x－4)
代入点C(0，8)，解得a＝1?????????????
∴抛物线的解析式是y＝x2－6x＋8??????
(3)∵抛物线y＝x2－6x＋8与过点(0，3)平行于x轴的直线相交于M点和N点
∴M(1，3)，N(5，3)，＝4??????????????
而抛物线的顶点为(3，－1)
当y＞3时
S＝4(y－3)＝4y－12
当－1≤y＜3时
S＝4(3－y)＝－4y＋12?????????????????????
(4)以MN为一边，P(x，y)为顶点，且当＜x＜4的平行四边形面积最大，只要点P到MN的距离h最大
∴当x＝3，y＝－1时，h＝4
S＝?h＝4×4＝16
∴满足条件的平行四边形面积有最大值16?
8、解：(1)
所以n=5时，面积最大值是????????????
(2)当时，有AC=CD=DB???
过C分别作x轴，y轴的垂线可得c坐标为()?????????????
代入得?????????
(3)当时，得
设解析式为得，?????????????
所以对称轴?????????????
因为P(x，y)在上
所以四边形PROQ的面积???
9、解：（1）∵A1、A2、A3三点的横坐标依次为1、2、3，
∴A1B1=，A2B2＝，A3B3＝
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b。
∴?解得
∴直线A1A2的解析式为。
∴CB2＝2×2－＝
∴CA2=CB2－A2B2=－2＝。
??(2)设A1、A2、A3三点的横坐标依次n－1、n、n＋1。
???????????????则A1B1=，A2B2=n2－n＋1，
?????????????????A3B3=(n＋1)2－（n＋1）＋1。
设直线A1A3的解析式为y＝kx＋b
∴
解得
∴直线A1A3的解析式为
∴CB2＝n（n－1）－n2＋＝n2－n＋
∴CA2=CB2－A2B2=n2－n＋－n2＋n－1＝。
??????????(3)当a＞0时，CA2＝a；当a＜0时，CA2＝－a
10、解：（1）由直角三角形纸板的两直角边的长为1和2，知两点的坐标分别为．设直线所对应的函数关系式为．
有解得
所以，直线所对应的函数关系式为．
（2）①点到轴距离与线段的长总相等．
因为点的坐标为，
所以，直线所对应的函数关系式为．
又因为点在直线上，
所以可设点的坐标为．
过点作轴的垂线，设垂足为点，则有．
因为点在直线上，所以有．
因为纸板为平行移动，故有，即．
又，所以．
法一：故，
从而有．
得，．
所以．
又有．
所以，得，而，
从而总有．
法二：故，可得．
故．
所以．
故点坐标为．
设直线所对应的函数关系式为，
则有解得
所以，直线所对的函数关系式为．
将点的坐标代入，可得．解得．
而，从而总有．
②由①知，点的坐标为，点的坐标为．
．
当时，有最大值，最大值为．
取最大值时点的坐标为．
11、解：(1)∵OM=2.5，tan∠OCM=1，
???????∴∠OCM=，OC=OM=2.5。
???????∴C(2.5，0)，M(0，2.5)。
???设CD的解析式为y=kx+2.5(k≠o)，
??????2.5k+2.5=0，
??????k=一1。
???∴y=―x+2.5。?????
?(2)∵B、E关于对称轴对称，∴B(x，)。?
???又∵B在y=一x+2.5上，∴x=一l。
???∴B(―1，)。
?(3)抛物线y=经过B(一1，)，E(3，)，
∴
??
???∴y=，
???令y=o，则=0，解得或。
?所以沙包距围墙的距离为6米。
12、（1）解法一：∵一次函数的图象与x轴交于点A
???∴点A的坐标为（4，0）
???∵抛物线经过O、A两点
?????????
?解法二：∵一次函数的图象与x轴交于点A
???∴点A的坐标为（4，0）
???∵抛物线经过O、A两点
???∴抛物线的对称轴为直线
??????????
（2）解：由抛物线的对称性可知，DO＝DA
???∴点O在⊙D上，且∠DOA＝∠DAO
???又由（1）知抛物线的解析式为
???∴点D的坐标为（）
???①当时，
???如图1，设⊙D被x轴分得的劣弧为，它沿x轴翻折后所得劣弧为，显然所在的圆与⊙D关于x轴对称，设它的圆心为D''
???∴点D''与点D也关于x轴对称
???∵点O在⊙D''上，且⊙D与⊙D''相切
???∴点O为切点???????∴D''O⊥OD
???∴∠DOA＝∠D''OA＝45°
∴△ADO为等腰直角三角形?????
∴点D的纵坐标为-2
?
???∴抛物线的解析式为
???②当时，
???同理可得：
???抛物线的解析式为
???综上，⊙D半径的长为，抛物线的解析式为或
（3）解答：抛物线在x轴上方的部分上存在点P，使得
???设点P的坐标为（x，y），且y＞0
①????当点P在抛物线上时（如图2）
???∵点B是⊙D的优弧上的一点
?????????
???过点P作PE⊥x轴于点E
???
???由解得：（舍去）
???∴点P的坐标为
???②当点P在抛物线上时（如图3）
???同理可得，
???由解得：（舍去）
???∴点P的坐标为
???综上，存在满足条件的点P，点P的坐标为：
???或
二、计算题
13、解：（1）令
抛物线向右平移2个单位得抛物线,
.
抛物线为
即。
（2）存在。
令
抛物线是向右平移2个单位得到的，
在上，且
又.
四边形为平行四边形。
同理，上的点满足
四边形为平行四边形
,,即为所求。
（3）设点P关于原点得对称点
且
将点Q得横坐标代入，
得
点Q不在抛物线上。
14、解：（1）能，共有4个．
点位置如图所示：
（2）在矩形中
，，．
∵S△ABC=BC?AB，
．
，．
在中
，
∴△BEF∽△BAC．
．
．
．
，，
∴S△AEP=S△CPF=CP?FC?sin∠ACB．
，
．
15、解：（1）由题意可设抛物线的解析式为．
抛物线过原点，
．
．
抛物线的解析式为，
即．
（2）如图1，当四边形是平行四边形时，
．
由，
得，，
，．
点的横坐标为．
将代入，
得，
；
根据抛物线的对称性可知，在对称轴的左侧抛物线上存在点，使得四边形是平行四边形，此时点的坐标为，
当四边形是平行四边形时，点即为点，此时点的坐标为．?????
（3）如图2，由抛物线的对称性可知：
，．
若与相似，
必须有．
设交抛物线的对称轴于点，
显然，
直线的解析式为．
由，得，．
．
过作轴，
在中，，，
．
．．
与不相似，
同理可说明在对称轴左边的抛物线上也不存在符合条件的点．
所以在该抛物线上不存在点，使得与相似．
16、解：（1）∵点B(-2,m)在直线y=-2x-1上，
∴m=-2×(-2)-1=3.??????????????????
∴B(-2,3)
∵抛物线经过原点O和点A，对称轴为x=2，
∴点A的坐标为(4,0).??????????????
设所求的抛物线对应函数关系式为y=a(x-0)(x-4).?
将点B(-2,3)代入上式，得3=a(-2-0)(-2-4)，∴.
∴所求的抛物线对应的函数关系式为，即.
（2）①直线y=-2x-1与y轴、直线x=2的交点坐标分别为D(0,-1)E(2,-5).
?过点B作BG∥x轴，与y轴交于F、直线x=2交于G，
?则BG⊥直线x=2，BG=4.
?在Rt△BGC中，BC=.
∵CE=5，
∴CB=CE=5.?
②过点E作EH∥x轴，交y轴于H，则点H的坐标为H(0,-5).
又点F、D的坐标为F(0,3)、D(0,-1)，
∴FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°.
∴△DFB≌△DHE（SAS），
∴BD=DE.
即D是BE的中点.????????????
（3）存在.?????????????????
由于PB=PE，∴点P在直线CD上，
∴符合条件的点P是直线CD与该抛物线的交点.
设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.
将D(0,-1)C(2,0)代入，得.解得?.
∴直线CD对应的函数关系式为y=x-1.
∵动点P的坐标为(x，)，
∴x-1=.??
解得，.???∴，.
∴符合条件的点P的坐标为(，)或(，).
17、解：（1）∵当和时，的值相等，∴，
∴，∴
将代入，得，
将代入，得
∴设抛物线的解析式为
将点代入，得，解得．
∴抛物线，即
（2）设直线OM的解析式为，将点M代入，得，
∴
则点P,,而,．
=
的取值范围为：＜≤
（3）随着点的运动，四边形的面积有最大值．
??从图像可看出，随着点由→运动，的面积与的面积在不断增大,即不断变大，当然点运动到点时，最值
??此时时，点在线段的中点上
?因而．
?当时，,∥,∴四边形是平行四边形．
（4）随着点的运动，存在，能满足
??设点，，．由勾股定理，得．
??∵,∴，＜，（不合题意）
??∴当时，我们对服务人员的配备以有经验、有知识、有技术、懂管理和具有高度的服务意识为准绳，在此基础上建立一支高素质的物业管理队伍，为销售中心的物业管理创出优质品牌。在物业人员配备中，我们遵循如下原则：1、本着精简、高效原则根据项目实际服务、管理和经营的需要，推行统一目标、分解责任、责权利相结合。2、职责、权限明确原则日常工作由综合服务主管直接对各服务人员即集指挥和职能于一身，便于综合服务主管全面掌握日常工作及人员状况，减小失控。
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