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一：正方形翻折的“折痕”问题 如图示，将正方形ABCD沿着折痕EF翻折，使点A落在BC边上的点A'处，点D落在点D'，点E在边AB上，点F在边CD上。  （1）正确作出翻折后的图形； （2）证明：AA'=EF； （3）设正方形边长为a，BA'=x，试用含有a和x的代数式将折痕EF表示出来，并分析其最值。 分析（1）：先在边BC上取一点A'，联结AA'，再作出线段AA'的垂直平分线分别交边AB、CD于点E、F，联结A'E，过点A'作A'E的垂线，再过点F作线段A'E垂线的垂线，垂足为D  注：会画出翻折后的图形是解决翻折运动习题的重要一步，通常联结对称点，再作对称点连线段的垂直平分线。 分析（2）：证明△ABA'≌△BCG  分析（3）：用含有a和x的代数式表示折痕EF即表示线段AA'，故对Rt△ABA'运用勾股构造。 当x=0时，即点A'与点B重合，此时折痕最小，EF=a； 当x=a时，即点A'与点C重合，此时折痕最大，EF=√(2)a  练习（1） 如图，把一块边长为6的正方形ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，BE=2，则折痕MN=  分析：  练习（1）变式 如图，把一块正方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，DN=4/3，BE=2，则折痕MN=  分析：   注： 1：把握折痕和对称点连线段的长度相同； 2：正方形自带的直角为运用勾股定理解决问题提供了先决条件； 3、体会转化与化归思想及方程思想在解决问题中的应用。 二：正方形翻折形成的四边形面积问题 如图，把一块正方形纸片ABCD沿着MN折叠，使点A恰好与BC边上的点E重合，设正方形的边长为a，BE=x， （1）试用含有a和x的代数式表示四边形AMND的面积； （2）并求出四边形AMND面积的最值。 分析：  （1）对于直角梯形面积的求解，作高是常见作法之一，故形成一组全等； （2）对于面积最值问题，一般来时是化成二次函数的形式，在定义域范围内分析其最值。 练习（2）-2012年普陀区初三数学一模18题 引用上述结论：点B的对应点G为AD中点时，此时面积最小且为3/8a²，即为6 正方形翻折形成三角形周长定值问题 如图，正方形纸片ABCD的边长为a，将正方形纸片折叠使点A落在BC边上的点E处，点D落在点H处，折痕为MN，联结EH，EH交DC于点G，试求证：C[△ECG]=2a 分析：方法一 方法二： 以上通过两种方式证明△ECG的周长为定值且为正方形变长的2倍。第一种方法通过勾股定理结合一线三直角的相似的性质，对于直角的翻折运用勾股定理建立方程是常用方法，且结合相似或三角比亦是可取方法；第二种方法通过构造辅助线2次全等说理，直接避开计算。 练习（3）-2015年崇明一模18题 练习（4）-2010虹口一模25题 分析： 第（3）亦可纯几何构造，如下图： 因为AD+DE=AB，故在AB边的右侧构造正方形ABHF AD+DE=AB，AD+DF=AF=AB 故DF=DE 再通过2次全等证明： △FAE≌△FGE，△FGC≌△FHC C[△BEC]=2AB=8 练习（5）-2012年杨浦二模25题 分析： 亦可纯几何构造： 以上两题虽然不是直接以正方形的翻折为背景，但是本质依旧不变，只是改变叙述方式。练习（4）以AD+DE=AB为突破，变相的告诉我们DE=DF，这样就转化成正方形的翻折问题了；练习（5）虽然以圆为背景，需要我们做的是剔除伪装圆，将圆的语言转换成线段之间的语言，此圆所起到的作用仅仅是半径OE=OB，这样再次将此题成正方形的翻折问题了；对于以上几题从纯几何构造的方式，以2次全等说理周长定值，实为2次翻折，亦可发现特殊角45°角的存在。 思考题： 如图，在正方形ABCD中，边长为a，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF=45°，求△CEF的周长 本贴主要探究正方形翻折问题中的几个常见问题的结论及其运用，从折痕问题到面积问题再到三角形周长定值问题。折痕是所有翻折运动问题中的核心，它所扮演的角色可以是对应点连线段的垂直平分线，也可以是角平分线，基于折痕扮演的角色，它又可以引领着我们补全翻折后的图形；对于面积问题中的最值问题一般来说是转化成二次函数的最值问题，再结合定义域来确定最值； 三角形周长定值问题，主要是利用勾股定理来建立方程，再结合三角比或相似三角形的相关性质进行求解。对于几何构造来求解三角形周长定值问题，旨在利用翻折的性质构造两次全等，这种两次翻折实为很多压轴题的基本图形，对基础图形的熟知，然后就是感悟、提升数学分析能力，解决压轴题。 |
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