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132 坐标系以及直线和圆的方程 关于本节要介绍的内容是坐标系，这要从勾股定理说起，见“026 千古第一的勾股定理”。勾股定理的定义是：在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。 勾股定理▲ 在我国周朝数学家商高于公元前十一世纪就提出了“勾三、股四、弦五”的论断，给出了勾股定理的一个特例。这个定理在西方叫做“毕达哥拉斯定理”，是古希腊数学家、哲学家毕达哥拉斯提出的，虽然比商高晚了五个世纪，但他给出了一个直角三角形具有的普遍的规律，并且给予了证明。勾股定理是形数结合的千古第一的经典范例。 古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，见“101 圆锥与圆锥曲线”。其中阿波罗尼奥斯采用平面截割一对顶圆锥得到圆、椭圆、抛物线、双曲线等“圆锥曲线”，这种纯几何的演绎形式使得古希腊的几何学在公元前就处于历史的黄金时期，以至于伴随“地心说”中关于行星轨道中的“本轮和均轮”的纯几何方法统治了一千多年，见“105 流传了一千多年的地心说”，这种纯几何的方法晦涩难懂，使得一千多年来的几何发展裹足不前。 地心说使用纯几何的方法▲ 欧洲文艺复兴后，由于生产和科学技术地发展，天文、力学、航海、等方面都对几何学提出新的需求。例如德国天文学家开普敦提出行星运动三大定律，意大利科学家伽利略发现投抛物体沿着抛物线运动，这些发现都涉及到圆锥曲线，而研究这些复杂的曲线，原先的一套方法显然已经不适应了。 阿拉伯数字的前身----印度数字▲ 同时，阿拉伯人的代数学得到了发展，大多数的国家都采用了印度-阿拉伯数码，由此使计数和算术运算得以简化，大大地提高了数学能力。另外普遍采用字母与符号表示常量、变数，使文艺复兴后地数学不同于古代的数学。这个时期的数学脱离了古希腊数学的逻辑基础，离开了严格的公理法，而关注的实际上属于现在的所谓代数和分析等数学门类。 罗马字用在钟表上▲ 原来几何与代数式彼此独立的两个分支，几何是几何，代数是代数，它们各自为政，互不相扰。传统的几何过分依赖图形和形式演绎，而代数又过分受法则和公式的限制，这一切都制约了数学的发展。公元十七世纪，由法国数学家迪卡尔和费尔玛创立的解析几何学，真正实现了几何方法与代数方法的结合、使形与数统一起来，这是数学史上一次重大的突破。 本节以首先介绍平面直角坐标系，然后介绍直线与圆的方程式。 1、迪卡尔与蜘蛛的故事 法国数学家迪卡尔(1596～1650)▲ 笛卡尔20岁时，有一次在荷兰看到大街上贴招贤榜，求解几道数学题，围观的人议论纷纷，可没有一个人能够解答。笛卡尔揭下此榜，很快就把那几道题做出来了，这使他对自己的数学才能有了自信，从此静下心来研究数学。 1619年11月的一天，他因病躺在了床上，无所事事的他又想起了那个折磨他很久的数学问题。天花板上，一只小小的蜘蛛从墙角慢慢地爬过来，吐丝结网，忙个不停。从东爬到西，从南爬到北。要结一张网，小蜘蛛该走多少路啊。笛卡尔就开始想如何去算蜘蛛走过的路程。他先把蜘蛛看成一个点，那么这个点离墙角有多远呢？离墙的两边多远？ 结网的小蜘蛛▲132-6 昏昏沉沉的他思考着，计算着，病中的他又睡着了。梦中，他好像看见蜘蛛还在爬，离两边墙的距离也是一会儿大些，一会儿小些……他好像悟出了什么，又看到了什么，大梦醒来的笛卡尔茅塞顿开：要是知道蜘蛛和两墙之间的距离关系，不就能确定蜘蛛的位置吗？确定了位置后，自然就能算出蜘蛛走的距离了。于是，他郑重地写下了一个结论：在互相垂直的两条直线下，一个点可以用到这两条直线的距离，也就是两个数来表示，这个点的位置就被确定了。见下图，P点的位置用3和2两个数表示。这是一个初步的坐标的设想。 坐标的设想▲ 这个发现在我们现在看来毫不稀奇，那不就是坐标图吗？中学生的课本上多了去了，算什么呢？可是，这在当时可真是一个了不起的发现，这是第一次用数形结合的方式将代数与几何联起来了。它使几何概念用数来表示，几何图形也可以用代数形式来表示。这不就是解析几何学诞生的曙光吗。 2、平面直角坐标系
笛卡尔平面直角坐标系▲ 上图为正规的平面直角坐标系，有互相垂直两条坐标轴，一条是X轴（横轴）；另一条是Y轴（纵轴），每条轴都有刻度和箭头，箭头的指向表示该轴的正方向，两坐标轴的交点是坐标原点。 四个象限▲ 上图，这两条坐标轴把平面划分为四个象限，分别是罗马字母Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ表示。图中A点两个有序的坐标值（2，3）分别是A点的x,y坐标，A点位于第一象限。第一象限里的点其坐标值为正的，用（+,+）表示，其它象限依次类推。平面解析几何通过平面直角坐标系建立点与实数之间的一一对应关系，运用代数方法研究几何问题，或用几何方法研究代数问题。 与笛卡尔同时代对创立解析几何作出重要贡献的还有法国律师、业余数学家菲尔玛，虽说他的职业是律师，但在数学上一点也不亚于同时代的其他数学家。他独立于笛卡尔，发现了解析几何的基本原理。 法国数学家费尔玛(1601～1665)▲ 菲尔玛提出：两个未知量决定的—个方程式，对应着一条轨迹，可以描绘出一条直线或曲线；含有三个未知量的方程表示一个曲面。费马还对一般直线和圆的方程、以及关于双曲线、椭圆、抛物线进行了讨论。笛卡尔是从一个轨迹来寻找它的方程的，而费尔玛是从方程出发研究轨迹的，这正是解析几何基本原理的两个相对方面。 以下内容分别介绍直线方程和圆的方程。 3、直线方程
直线方程▲ 在计算机图形学中，更多的采用参数法显示和绘制直线和线段。
圆的方程▲ 在计算机图形学中，绘制圆和正多边形使用的是同一个方法，即上面介绍的圆的参数方程表达式。
圆与正多边形使用同一种算法 |
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