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作者：张天蓉 物理学中的统计规律是指粒子系统的宏观运动规律。波尔兹曼研究的是经典粒子的统计行为，粒子系统的自由度用麦克斯韦-波尔兹曼统计方法来描述或计算。 不同于经典统计，量子力学的统计规律则有两种：玻色-爱因斯坦统计和费米-狄拉克统计。 图13-1：波色和费米 提出量子统计理论的这四位物理学家，其中玻色可能是很多人不甚了解的一位。玻色是印度人，他在一次有关光电效应的讲课中，因为犯了一个违反经典统计的“錯誤”却发现了玻色子的统计规律。物理学中以他的名子命名玻色子，这使得他在物理学界还是挺有名的。 纳特·玻色（Nath Bose，1894年－1974年）出生于印度加尔各答，他的父亲是一名铁路工程师，他是七名孩子中的长子。玻色在大学时曾得到几位优秀教师的赞赏和指点。他获得数学硕士学位之后并未继续攻读博士，而是直接在加尔各答物理系担任讲师。后来，他又到达卡大学物理系任讲师，并自学物理。 大约是在1921年，玻色讲授光电效应和黑体辐射引发的紫外灾难，他本来是想按照经典方法分析粒子的统计行为，结果犯了一个类似“掷两枚硬币，得到“正正”概率为三分之一”的错误。然而没想到是，他的这个错误却得出了与实验相符合的结论，也就是不可区分的全同粒子所遵循的一种统计规律。 所谓“掷两枚硬币，‘正正’概率为三分之一”是错误的，意思是说当你掷两枚硬币的时候，因为每个硬币都有正反两面，实验结果就有四种情况：正正、正反、反正、反反。也就是说，按照经典理论，这四种情况中的每一种发生的几率是一样的，即都是四分之一，但玻色所得到的结果却是三分之一。 玻色的这个“错误”之所以是“不可区分的全同粒子”的统计规律，是因为对于两个粒子而言，它们的统计行为是否可以区分或不可区分是有区别的。假如两枚硬币不能区分谁正谁反，你掷两枚硬币所得到的正、反与反、正就是完全一样的结果。“不可区分”的两个粒子如同“量子硬币”，它们在宏观系统中总是给我们完全一模一样的感觉。既然两个粒子的‘正反’和‘反正’是完全一样的，所以，当你观察两个这类粒子的状态时，所有可能发生的情形就只有“正正”“反反”“正反”三种情形。 图13-2：“可区分”和“不可区分”粒子的统计规律不一样 当然,物理学考虑的是某种抽象的“量子硬币”，其目的是为了说明多个“一模一样、无法区分”的物体，与多个“可以区分”的物体所遵循的统计规律是不一样的。 图13-3：玻色（后排左2）和加尔各答大学的科学家们 1920年代初，新量子论（量子力学）尚未诞生，已经沿袭了20多年的旧量子论仍然是在经典物理框架下做点量子化的修补工作。至于粒子的统计行为，当然也仍然是波尔兹曼的经典统计理论。那时在物理学家们的脑袋中，绝对没有所谓粒子“可区分不可区分”的概念，因为按照经典理论，每一个粒子都是有轨道、可以精确跟踪的。玻色正是想对学生讲清楚黑体辐射理论与实验不一致的问题，才运用经典统计来推导理论公式，结果他犯了如前所述的那种“错误”。但这个偶然的错误却得出了与实验相符合的结论。 为什么数学上的错误反而得到正确的物理结论？玻色立刻意识到这也许是一个“没错的错误”。他继续深入思考，研究概率1/3区别于概率1/4之本质，视乎悟出了一点道理。于是，他撰写了一篇《普朗克定律与光量子假说》的论文。他在文中首次提出了经典的麦克斯韦-波尔兹曼统计规律不适合于微观粒子，并认为这是因为海森堡不确定性原理导致变动构成的影响，使得需要一种全新的统计方法。 然而，没有哪一个杂志愿意发表他的论文，因为那时普遍认为玻色犯了统计学家看来十分低级的错误。1924年，玻色突发奇想，直接将文章寄给大名鼎鼎的爱因斯坦。 到底是科学大神，爱因斯坦收到玻色的论文之后，立刻表示支持并着手进一步的研究。玻色的“错误”之所以能得出正确结果，在于光子是一种不可区分的、后来被统称为‘玻色子’的东西。爱因斯坦对此早有一些模糊的想法和思考，恰逢玻色的计算正好与他的想法不谋而合，所以他立即将这篇论文翻译成德文，并安排将它发表在《德国物理学期刊》上。 爱因斯坦非常重视玻色的发现，以至于开始写一系列论文，研究他称之为“玻色统计”的东西。正因为爱因斯坦的贡献，如今，玻色统计被称为“玻色-爱因斯坦统计”。在当今，“玻爱统计”还是理解激光和超低温环境下“玻色-爱因斯坦凝聚”现象的关键理论。 玻色的这一工作可以被认为是诺奖级别的，但遗憾的是，他像一颗划过天空转瞬即逝的彗星一样，之后在科学上再没有大的作为，最终与诺奖无缘。1974年，80岁高龄的玻色死于加尔各答。 光子是不可区分的。在量子力学中，对于这种互相不可区分的、一模一样的粒子叫做“全同粒子”，也就是质量、电荷、自旋等内在性质完全相同的粒子。在宏观世界中，可能不存在完全一模一样的东西，你即使看起来一模一样，它们也是可以被区分的。根据经典力学，即使两个全同粒子，它们运动的轨道也不会相同，追踪它们不同的轨道就可以区分它们。而按照量子力学理论，微观世界里粒子遵循不确定性原理，没有固定的轨道，因而无法将它们区分开来。量子力学中有两种类型的全同粒子：玻色子和费米子——以玻色和费米这两位物理学家的名字分别命名的粒子，它们服从两种不同的量子统计规律。 不可区分的全同粒子不能用经典统计方法计算它们的存在状态，而应该用量子统计。如图13-2a所示，对于两个经典粒子而言，出现两个正面（HH）的概率是1/4；但光子这样的玻色子出现两个正面（HH）的概率是1/3（图13-2b），你就不能按照经典统计方法来计算或描述它的统计行为。 费米子虽然也是全同粒子，但费米子与玻色子相比较是有区别的（图13-2c）。费米子是符合泡利不相容原理的全同粒子，比如电子，根据泡利不相容原理，两个电子不能处于同样的状态。如果仍然以掷两个硬币模拟电子的行为，费米统计可以说明费米子的统计规律有何特别之处。因为两个‘费米子硬币’不可能处于完全相同的状态，所以四种可能情形中的HH和TT都不成立，只能是唯一的HT。因此，对于两个费米子系统，出现HT的概率是1，出现其它状态的概率是0。 最早研究费米子统计规律的是美籍意大利裔物理学家恩里科·费米（Enrico Fermi，1901年－1954年）。他是一位非常著名的物理学家，物理领域以费米命名的物理概念或对象有很多，诸如费米子、费米面、费米-狄拉克方程、费米-狄拉克统计、费米实验室、费米悖论......，还有100号化学元素“镄”、美国芝加哥著名的费米实验室、芝加哥大学的费米研究院，等等。但费米一生处事低调，淡泊名利。 图13-4：费米和位于美国伊利诺伊州的费米国家实验室 费米（Enrico Fermi，1901-1954）在美国芝加哥大学任物理学教授，他首创β衰变的定量理论，设计并建造了世界上第一台可控核反应堆。他对理论物理和实验物理均做出了重大贡献，被称为现代物理学的最后一位通才。1938年，费米被授予诺贝尔物理学奖。 费米的科学深涯又一次应了中国人的一句老话：大智若愚。他是家中的老么，童年时身材瘦小，也不爱说话，看上去似乎不够聪明。事实上，他10岁的时候就能独立理解表示圆的公式X2+Y2=R2。18岁那年，他的一篇《声音的特性》论文引起了物理学权威们的关注。1929年，费米未满30岁就成为意大利最年轻的科学院院士。 费米之所以被吸收为意大利科学院院士，就在于他在25岁时就发现了费米子遵循的量子统计。1926年，费米和狄拉克各自独立地分别发表了有关统计规律的学术论文。这两位科学家都很低调和谦虚。狄拉克称此项研究是费米完成的，他如同爱因斯坦称“玻色统计”一样，他称其为“费米统计”，并将对应的粒子称为“费米子”。 不同微观粒子的全同性的统计规律是有所不同的。它们的不同根源在于粒子本身的自旋以及自旋导致的不同对称性。玻色子是自旋为整数的粒子，比如光子的自旋为1。两个玻色子的波函数是交换对称的，即当两个玻色子的角色互相交换之后，描述它们的统计行为的波函数是不变的。费米子粒子的自旋为半整数，例如电子的自旋是1/2。由两个费米子构成的系统的波函数是交换反对称的，即当两个费米子的角色互相交换之后，系统总的波函数只改变符号（见图13-5）。 费米子系统反对称的波函数与泡利不相容原理有关——所有费米子都遵循泡利不相容原理。因此，原子中任意两个电子不能处在相同的量子态，而是在原子中分层排列（见图13-5中的左边二图）。我们所熟悉的化学元素周期律也是在这个理论的基础上才最终确定的。 图13-5：玻色子和费米子的不同特性源于不同的自旋波函数 在光学、凝聚态物理学等领域，玻色子和费米子的统计行为是科学家们理解物理现象的法宝。玻色子喜欢同居一室，它们都拼命挤到能量最低的状态。比如，光子是玻色子，许多光子可以处于相同的能级，所以玻色统计可以解释激光这种超强度的光束；电子是费米子，在材料的导电性中多有相关描述。原子是复合粒子，复合粒子的情况要复杂一点。对于复合粒子来说，如果被统计的系统是由奇数个费米子构成，则为费米子；若是由偶数个费米子构成，则是玻色子。例如在接近绝对零度的超低温环境下，所有的原子运动是玻色子特性，因而这种低温状态下的原子都是玻色子，它们会突然‘凝聚’在一起产生一些平常物质中观察不到的有趣现象（比如‘超流体’现象）——称为“玻色-爱因斯坦凝聚”。
费米的夫人是犹太人。费米获得诺贝尔奖的那一年，意大利的墨索里尼开始逮捕和迫害犹太人。费米便利用到瑞典领奖的机会，举家逃到了美国，并一直在哥伦比亚大学任教。1941年底，在爱因斯坦等人的提议下，美国政府决定启动名为“曼哈顿”的原子弹研制计划，费米成为主要的参与者之一。 费米在科研生涯的最后几年，还是从事高能物理的研究。可惜天妒英才，正值事业巅峰期的费米在食道癌和胃癌的双重打击下，于1954年11月28日逝世于芝加哥的家中，时年仅仅53岁。 |
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