柏拉图主义——数存在于理念世界

柏拉图认为：理念世界是永恒的真实存在，实在世界不过是理念世界的幻影！毕达哥拉斯，康托尔也持同样观点！

通常认为，整个数学历史上或明或暗都有柏拉图主义的影响，特别是19世纪，柏拉图主义在数学实践中几乎占了统治地位。柏拉图主义是这么一种观点：数学研究的对象尽管是抽象的，但却是客观存在的，它们是不依赖于时间、空间和人的思维而永恒存在的，数学家们提出的概念不是创造，而是对这种客观存在的描述。

图片1 柏拉图与亚里士多德

柏拉图主义

柏拉图（公元前427-前347年）是有很大影响的古希腊唯心主义哲学家，他的老师苏格拉底和弟子亚里土多德都是哲学史上有名的人物。柏拉图在政治上提出'理想国'的理论，主张在理想国里人分为金、银与铜铁三等，奴隶是三等之外的牲畜，而国家的统治者应当具有广博知识并善于深刻思考的'哲学王'。但是，他的政治理想不但没有实现，还被叙拉古国王抓起来贬为奴隶，所幸他的一个学生将他赎了回来。回到雅典后，柏拉图创办了被称为'柏拉图学园'的学校，并存世九百多年。

柏拉图认为：存在着两个世界，一个是人们可以看到、听到、摸到的由具体事物组成的实物世界，另一个是理智才能把握的理念世界。具体的实在世界是相对的、变化的，而理念世界则是绝对的、永恒的。比如像你我这样的具体的人、像我们坐的具体的椅子，属于实在世界。而抽象的'人'、'椅子'，属于理念世界。理念世界是永恒的真实存在，实在世界不过是理念世界的幻影！ Comment by 欧阳婧: 红色可以考虑加粗

图片2 柏拉图与理念世界

数学中的柏拉图主义

柏拉图很重视数学的研究，他认为：数和几何图形都是永存于理念世界的绝对不变的东西。他主张通过研究学习数学来认识理念世界，甚至说认识不到数学的重要性的人'像猪一样'。他认为，数学概念如1、2、3等是人生前灵魂中固有的东西，得自于理念世界。而在生活中，由于具体经验的启发或通过学习，唤醒了沉睡的记忆，回忆起了理念世界的知识。柏拉图的思想对后人有很大影响。许多卓越的数学家，比如集合论的创始人康托尔就认为数学概念是独立于人类思维活动的客观存在，这与柏拉图的看法是一致的。

和毕达哥拉斯类似，柏拉图仍然是颠倒了具体事物与抽象概念的关系。事实上，概念不是本来就有的，而是人在与具体事物打交道时产生的。为了建立合理可信的数的理论基础，数学家建议多种不同的方案。这只能表明人们的思维活动形成了从不同角度反映现实的概念体系，而不是同忆起了共同的理念世界的真理。当然，柏拉图的'认识即回忆'、'现实世界是理念世界的幻影'这些观点，数学家是很少有人接受的。所谓数学中的柏拉图主义，只不过是主张或认为数学对象如自然数、点、直线是客观存在的东西而已。例如，柏拉图主义认为，自然数总体是存在的，线段上的无穷多个点是存在的。

数学家有柏拉图主义的观点，看来倒不是因为读了柏拉图的著作。许多数学家不一定知道柏拉图是什么观点。当数学家痴迷地进行着创造性的思维活动时，他自然而然地产生一种感觉或感情，觉得自己所探索的不是抽象概念之间的关系，而是客观世界的真理。数学家在引进一个新概念时，他会认为自己是发现了本已存在的东西。这种感觉产生的原因除了由于献身科学的热情之外，还由于数学的特点。数学结论虽然是人推出来的，但它有客观性。一个方程有多少根，有哪几个根，是客观的。一个定理，可能被不同的人同时发现。就像它在有人类之前就隐藏在什么地方一样。

图片3 贝克莱

柏拉图主义的批判发展

从亚里土多德开始的唯物主义哲学家们始终在批判柏拉图主义，但这种批判在数学领域收效甚微。原因除了上面所说的之外，还由于对'存在'、'客观存在'等概念始终说不清。'存在'这个概念，数学家之间，哲学家之间，数学家与哲学家之间，都有着不同的理解。哲学家们两千多年来，也始终没有给'存在'下一个严格的定义，而且似乎也难于定义。不但没有统一的定义，就连自圆其说的定义也没有。

主观唯心主义者贝克莱主张'存在即被知觉'。按这个定义，数、点线都不存在了，因为看不见，摸不着，听不到，嗅不出。但是，唯物主义者难道同意用主观唯心主义来批判柏拉图主义吗？存在主义哲学家萨特主张'存在是人的存在'。按这个定义，抽象的数学概念就都不是存在的了。但是，唯物主义者难道同意用存在主义来批判柏拉图主义吗？唯物主义主张'世界是物质的，物质是唯一的存在'。如果把存在定义为物质，当然抽象的数学对象就不存在了。因为不是物质。但是，为什么只有物质才存在呢？这与对物质的理解有关。当爱因斯坦的相对论揭示出物质与能量可以转化时，当物理学家提出场的理论时，有人说唯物主义错了，因为世界上不仅有物质，还有场，还有能等等。列宁反驳说：唯物论者所说的物，并没有具体地指明是什么，只是客观存在、不以人的意志为转移的、构成这个世界的东西场与能都是物质的存在形式。这就是表明：无论科学有了任何新成就，都不足以反驳唯物论。科学发现世界上有什么存在，所发现的东西都可以叫做物质。关键在于物质是客观的。这样一来，主张数学对象存在的人就会说：数学对象恰好是客观的，不以人的意志为转移的。这是真的。

图片4 列宁与物质

数学家可以引人概念，但概念的性质如何却由不得数学家自己。现代科学提出的一种观点认为：世界万物由三要素构成——物质、能量与信息。那么，数学对象可不可以作为信息而存在呢？此外，数学家所理解的存在，和哲学上所谓存在并不是一回事。在数学家看来，凡是按一定法则证明了存在的东西就是存在的。不过，对于所使用的法则是什么，数学家之间也有争论。

柏拉图主义对于数学的发展，是起着积极作用还是消极作用呢？这也是一个复杂的问题，值得数学家进一步探究。

本文转载自张景中的书籍 《数学与哲学》