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复数无法比较大小，这是因为我们无法把复数定义为一个自洽的有序域，使得它在加法和乘法上相容。 实数是可以比较大小的，但是学过复数的人会发现，对于两个复数我们无法比较大小，甚至我们不知道虚数单位“i”和“0”哪个大。
一个数域中的任何两个数要比较大小，首先这个数域的是有序域，也就是我们能建立一套法则，使得数域内的所有数，形成一个有序关系，并在加法和乘法上相容。 在数学上，对于一个数域Q，如果我们能定义一种全序关系使得Q为有序域，那么必定满足下面两个条件（a、b、c属于Q）： 条件一：当a>b时，有a+c>b+c； 条件二：当a>b且c>0时，有ac>bc； 对于整数域、实数域来说，这两个条件显然是满足的，所以整数和实数都是有序域，它们之中的任意两个元素都可以比较大小。
复数是实数的扩充，并且引入了虚数单位“i”，我们可以把复数域看作二维数，但是无论我们如何定义，都无法使复数满足有序域的两个条件。 全序关系要求数域中任何两个元素都可以比较，我们就以虚数单位“i”为例，必定满足i>0、i<0或者i=0中的任意一个。 （1）假设i>0 根据条件二，我们令a=i，b=0，则有： i*i>0*i 也就是-1>0矛盾 (2)假设i<0 说明i为负元，于是-i就是正元，有-i>0，同样根据条件二，则有： (-i)*(-i)>0*(-i) 也就是-1>0矛盾 (3)假设i=0 那就没得玩了！ 我们连虚数单位“i”和“0”的大小都无法比较，那么更不用谈复数之间的比较了。但是每个复数都对应一个模，模属于实数，所以复数的模可以比较大小，复数模的几何意义为复数到原点的距离。
从几何上我们可以理解为，所有实数可以从左到右依次进行排列，因为实数是一维的；但是二维复数无法进行依次排列， 因为二维数的复杂程度本就高于一维数，我们无法在一维当中把二维元素一一排列出来。 我的内容就到这里，喜欢我们文章的读者朋友，记得点击关注我们——艾伯史密斯！ |
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