这个回答的关键是理解 微分 dx 的意义,我们需要从头说起: 对于 大部分 函数 y = f(x),人们发现其对应的曲线 是”光滑“的,基于生活的经验: 光滑的表面,局部是没有棱角的,是平直的。 这翻译成数学语言 就是: ”光滑“的函数 的 局部变化近似于线性函数。 具体写成公式如下: 其中,Δy 表示 函数 y 在 每一个 x 点 附近,因为 局部变化量 Δx 的变化 而引起 的局部变化量;微分 dy = A(Δx) 是一个线性函数,它可以保持线性性运算:
利用上面的性质二,有, A(Δx) = A(Δx⋅1) = ΔxA(1) = A(1)Δx 当 A 确定时,A(1) 是常数,于是,令, K = A(1) 则,微分可表示为: dy = KΔx 再结合前面的公式,有: f(x Δx) - f(x) = KΔx o(Δx) K = (f(x Δx) - f(x)) / Δx - o(Δx) / Δx 等式两边取极限,有: 令, 称 y' 为 y 在 x 点的导数。 于是, K = y' 微分表示改写为: dy = y'Δx 考虑,Δx 就是 函数 y = f(x) = x 的局部变化量,对于 y 有: dy = y'Δx = 1⋅ Δx = Δx 而, dy = df(x) = dx 于是,我们得到: 从而,得到最终的微分形式: 在了解了 微分 dx 的意义以后,就很好回答题主的问题了: 在 f(x)dx 中:
于是, f(x)dx 就是 以 |Δx| 为底边 以 |f(x)| 为高的矩形面积。 |
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