【初中数学-动点系列】环形跑道问题案例的GeoGebra制作教程-路径值法

在前面两期的推文，我们介绍了用单位向量法去绘制折线上的动点：

【初中数学】初中动点问题案例的制作-单位向量法

【初中数学】动点问题的进阶-折线匀速动点工具的制作

我们说过，单位向量法一般只适用于直线类型的几何对象，那么，对于非直线类型的几何对象，我们该采取什么办法呢？譬如，行程问题中的环形跑道问题，就涉及到线段和圆弧上的动点。我们这期推文就来介绍如何绘制环形跑道上匀速运动的动点。请看以下例题：

甲、乙从400米环形跑道上的同一点（点A）出发，沿着相同的方向运动（逆时针）。其中，甲的速度为200米/分钟，乙的速度为300米/分钟。请以时间滑动条t为源动力，绘制出甲、乙从出发到第一次相遇的运动过程。

笔者制作的课件效果如下：

采取方法：对于这种非直线类型的路径，我们采用路径值的方法。首先，我们需要理解路径值的含义和计算方法。

什么是路径值？路径值是表示点在几何对象上的一个位置参数，它的数值介于0到1之间。不同几何对象，路径值的计算方法有所不同。

题目里面涉及三种几何对象：线段、圆弧、线段和圆弧的路径集合。我们来简要说明一下这三者的路径值的计算方法。

线段(A,B)上一点X的路径值，与AX的长度成正比：

图片来源：肖建伟-《GeoGebra几何对象路径值(PathParameter)的理解与应用》

半圆(A,B)上一点的路径值，与弧线BX的长度成正比（注意是BX，不是AX）

本案例中线段和圆弧所组成的路径集合：如下图所示，沿着逆时针的方向，每个顶点的路径值为分别为0、1/4、2/4、3/4、1。并且，在同一个分段上，点的路径值与该点沿着路径到起点A的距离有着一次函数的关系（参考折线的路径值与距离的函数图像）。

关于路径值的更多具体解释，请参考笔者文章《GeoGebra几何对象路径值(PathParameter)的理解与应用》。文章里面没有提及半圆的路径值，可以作为补充。

 

制作过程

第1步，画出环形跑道

以点A作为自由点，根据实际情况，取圆弧跑道的半径为36.5（也不一定需要这么取，在绘图的时候算好比例就行了）。

点B位置：B = A (0, 36.5 * 2)

直线跑道长度：a =400 - 2π * 36.5

点C位置：C = B - (a / 2, 0)

点D位置：D = A - (a / 2, 0)

c = 半圆(B, A)

f = 线段(B, C)

d = 半圆(D, C)

g = 线段(D, A)

（以上需要注意的是，半圆的方向不要弄反了）

然后，把线段和圆弧放入列表中，形成一个路径集合：

l1 = {c, f, d, g}

这里也需要注意，顺序不能出错，因为路径值和对象的顺序有关。此时得到的绘图效果如下图所示：

第2步，绘制路径值与距离的函数图像（放到绘图区2）

对于线段和圆弧路径集合的上的点，路径值-距离的函数图像是一条折线（参考折线的路径值与路程的函数图像）。

注：此处的距离，指的是从点A沿着跑道（逆时针方向）到跑道上某一点的距离，数值在0-400之间。

画出路径值-距离函数图像上的几个特殊点：

l2=序列((总和(l1, k), k / 4), k, 0, 4)

把以上几个特殊点连成折线，就可以得到路径值-距离的完整函数图像：

h = 折线(l2)

 

第3步，绘制动点甲

首先，添加滑动条t。t的最小值为0，最大值为4（甲乙第一次相遇所用的时间）

现在已经有了路径值与距离的函数图像，如果我们知道动点走过的路程，那么就可以找到该路程对应的距离，进而就可以知道路径值。最后用路径值去描点就可以了。

需要指出的是，此处所说的路程，指的是动点在跑道上所运动过的轨迹的长度，这个数值可以大于400。我们在前面画出的路径值-距离函数图像，距离的最大值只能取到400。对此，需要把路程转为为距离，转换关系为：

距离 = 取余(路程, 400)

至于为什么这个表达式，应该比较好理解，请读者自行思考。

作出甲动点的距离直线eq1（放到绘图区2）： 

x = 取余(200t,400)

取直线eq1与折线h的交点，交点的纵坐标就是该距离对应的路径值了，然后用这个路径值去描点即可:

甲 = 描点(l1, y(交点(eq1, h)))

 

第4步，绘制动点乙

作出乙的距离直线eq2（放到绘图区2）: 

x = 取余(300t, 400)

绘制动点乙：

乙 = 描点(l1, y(交点(eq2,h)))

最后，调一下点的颜色和标签，得到的效果图如下：

 

小结：绘制环形跑道上的动点，需要用路径值法。运用路径值法的两个核心是：a.理解路径值的计算方法  b.找到路径值与路程或时间的关系

用路径值去绘制动点，是一种适用范围更广的方法：既可以应用于直线类型的几何对象，也可以应用于非直线类型的几何对象。

课件获取方式：https:///m/fwn2dmrr

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思考与实践：如果其它条件不变，乙的运动方向与甲反向，你能绘制出甲乙两动点从出发到第一次相遇的过程吗？第N次相遇呢？不妨试试看！

对于本文案例，你还有什么疑问和想要说的话呢？

作者：肖建伟  2020/5/15