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例题： ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，求线段AD的最大值。  首先回顾一下上一讲中辅助线的作法：以点C为旋转中心，将AC顺时针或逆时针旋转90度！具体作法就是以AC为一直角边，作一个等腰直角⊿CAF！  总结成一句口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，全等必定有！实际上这就是手拉手模型之旋转全等！  解法1和解法2是考虑以点C为旋转中心来考察线段AD的两个端点A和D的，下面我们对上述方法进行拓展。 具体想法是：考虑以点B为旋转中心来考察线段AD的两个端点A和D。显然点C绕旋转中心B顺时针旋转了45度，再放大到根号2倍，得到点D。故我们同样以点B为旋转中心，将点A也顺时针旋转45度，再放大到根号2倍，得到点G。注意BD是BC的根号2倍，所以此时的缩放比例为：根号2:1。于是我们又得到如下解法。  解法3：以点B为旋转中心，将点A顺时针旋转45度，再放大到根号2倍，得到点G，连接GA、GB、GD。  现在点G已经找到，目前我们只需要检验一下GA与GD的长度是否确定就可以了。显然：GA=AB=4。。那么GD呢？由于B是旋转中心，C、D对应，A、G对应，故⊿BCA与⊿BDG必定相似，而且是绕点B顺时针旋转了45度的相似！所以GD=AC的根号2倍=2根号2，也是确定的！ 现在GA和GD长度均已确定，于是当点G落在AD上时取等号，这时AD就将达到最大！那么何时点G才会落在AD上呢？ 显然此时∠BGD=180-45=135度，而∠CAB=∠BGD，故当∠CAB=135度时，AD最大！其值为：   总结：以上解法的核心就是以点B为旋转中心，将BA顺时针旋转45度，再放大根号2倍！辅助线的具体作法就是以AB为一直角边，作一个等腰直角⊿BAG！总结成一句口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！实际上这就是手拉手模型之旋转放缩！ 既然可以顺时针旋转，那么当然也可以逆时针旋转，于是我们联想到如下第四种解法。  解法4：以点B为旋转中心，将BA逆时针旋转45度，再缩小根号2倍！辅助线的具体作法就是以AB为斜边，向外作一个等腰直角⊿BAG，再连接GC。 显然⊿BCG与⊿BDA必定相似。当点A落在GC上时取等号，这时GC就将达到最大！从而AD就将达到最大！  显然此时∠CAB= 180-45=135度。故当∠CAB=135度时，GC最大。故AD最大值就是：  总结：以上两种解法的核心，都是以点B为旋转中心，将AB顺时针或逆时针旋转45度！辅助线的具体作法就是以AB为一边，作一个等腰直角⊿BAG！  总结成一句口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！实际上这就是手拉手模型之旋转缩放！ 我们还可以以点D为旋转中心！于是又得到如下两种解法： 解法5：以点D为旋转中心，将点A顺时针旋转45度，再缩小根号2倍，得到点H，连接HA、HC、HD。 显然⊿DAB与⊿DHC必定相似。当点C落在AH上时取等号，这时AH就将达到最大！从而AD就将达到最大！ 显然此时∠CAB= 90+45=135度。故当∠CAB=135度时，AH最大。故AD最大值就是： 解法6：以点D为旋转中心，将点A逆时针旋转45度，再放大根号2倍，得到点H，连接HA、HB、HD。 显然⊿DAC与⊿DHB必定相似。当点B落在AH上时取等号，这时AH就将达到最大！从而AD就将达到最大！ 显然此时∠CAB= 90+45=135度。故当∠CAB=135度时，AH最大。故AD最大值就是： 总结：以上两种解法的核心，都是以点D为旋转中心，将AD顺时针或逆时针旋转45度，再放大或缩小根号2倍！辅助线的具体作法就是以AD为一边，作一个等腰直角⊿ADH！ 总结成一句口诀就是：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！实际上这就是手拉手模型之旋转缩放！ 以上六种解法，我们或以点C为旋转中心，或以点B为旋转中心，或以点D为旋转中心，将图中某一点按顺时针或逆时针方向旋转一定的度数，再按一定的比例进行缩放，得到其对应点，最后根据三角形的三边关系来求出AD的最大值。 添加辅助线的方法可以归纳为：共顶点，等顶角，见等腰，作等腰！构成手拉手，相似必定有！实际上这就是手拉手模型之旋转缩放！ 相信你看了本文，一定收获满满吧！最后留一道题给你练练手，检验一下你的学习成果。能给出2种解法才算合格，能给出4种解法可算良好，能给出6种解法方算优秀！ 题目： ΔABC中，AB=4，AC=2，以BC为边在ΔABC外作正方形BCDE，BD、CE交于点O，求线段AO的最大值。 |
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