|
|
| 2020高考数学逆袭：专题七选考系列 |
|
|
|
|
专题七选考系列第1讲坐标系与参数方程[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019直线的极坐标方程、椭圆的参数方程、点到直线
的距离极坐标方程的应用极坐标方程的应用2018极坐标与直角坐标的互化、曲线方程的求解参数方程与直角坐标方程的互化、参数方程的应用参
数方程与普通方程的互化、参数方程的应用2017参数方程与普通方程的互化、点到直线的距离直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求法、
三角形面积的最值问题直线的参数方程与极坐标方程与普通方程的互化、动点轨迹方程的求法(1)坐标系与参数方程是高考的选考内容之一，高考
考查的重点主要有两个方面：一是简单曲线的极坐标方程；二是参数方程、极坐标方程与曲线的综合应用．(2)全国卷对此部分内容的考查以解答
题形式出现，难度中等，备考此部分内容时应注意转化思想的应用．考点一极坐标方程及其应用[例1](2019·全国卷Ⅲ)如图，在
极坐标系Ox中，A(2，0)，B，C，D(2，π)，弧，，所在圆的圆心分别是(1，0)，，(1，π)，曲线M1是弧，曲线M2是弧，
曲线M3是弧.(1)分别写出M1，M2，M3的极坐标方程；(2)曲线M由M1，M2，M3构成，若点P在M上，且|OP|＝，求P的极
坐标．1．(2019·全国卷Ⅱ)在极坐标系中，O为极点，点M(ρ0，θ0)(ρ0>0)在曲线C：ρ＝4sinθ上，直线l过点A(
4，0)且与OM垂直，垂足为P.(1)当θ0＝时，求ρ0及l的极坐标方程；(2)当M在C上运动且P在线段OM上时，求P点轨迹的极坐
标方程．2．(2018·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C1的方程为y＝k|x|＋2.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极
坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ2＋2ρcosθ－3＝0.(1)求C2的直角坐标方程；(2)若C1与C2有且仅有三个公共点，求C
1的方程．考点二参数方程及其应用[例2](2018·全国卷Ⅱ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l
的参数方程为(t为参数)．(1)求C和l的直角坐标方程；(2)若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1，2)，求l的斜率．1．在直
角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(θ为参数)，直线l的参数方程为(t为参数)，直线l与曲线C交于A，B两点．(1)求|AB|的
值；(2)若F为曲线C的左焦点，求·的值．2．已知曲线C：＋＝1，直线l：(t为参数)．(1)写出曲线C的参数方程，直线l的普通方
程；(2)过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求|PA|的最大值与最小值．考点三极坐标与参数方程的综合应
用题型一直线的参数方程中参数几何意义的应用[例3]在平面直角坐标系xOy中，曲线C1过点P(a，1)，其参数方程为(t为参数
，a∈R)．以O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos2θ＋4cosθ－ρ＝0.(1)求曲线C1
的普通方程和曲线C2的直角坐标方程；(2)已知曲线C1与曲线C2交于A，B两点，且|PA|＝2|PB|，求实数a的值．题型二极
坐标方程中极径几何意义的应用[例4]在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(φ为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极
轴建立极坐标系．(1)求圆C的极坐标方程；(2)直线l的极坐标方程是2ρsin＝3，射线OM：θ＝与圆C的交点为O，P，与直线l的
交点为Q，求线段PQ的长．1．(2019·全国卷Ⅰ)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(t为参数)．以坐标原点O为极点，x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为2ρcosθ＋ρsinθ＋11＝0.(1)求C和l的直角坐标方程；(2)求C上
的点到l距离的最小值．2．(2019·长沙市统一模拟考试)在平面直角坐标系xOy中，已知曲线M的参数方程为(φ为参数)，过原点O且
倾斜角为α的直线l交M于A，B两点．以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．(1)求l和M的极坐标方程；(2)当α∈时，求|O
A|＋|OB|的取值范围．【课后专项练习】1．(2019·郑州市第一次质量预测)已知曲线C1：x2＋(y－3)2＝9，A是曲线C1
上的动点，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，以极点O为中心，将点A绕点O逆时针旋转90°得到点B，设点B的轨迹为
曲线C2.(1)求曲线C1，C2的极坐标方程；(2)射线θ＝(ρ>0)与曲线C1，C2分别交于P，Q两点，定点M(－4，0)，求△
MPQ的面积．2．(2019·湖南省五市十校联考)在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t是参数)，以原点O为极点，x轴正半轴
为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝cos.(1)求圆C的直角坐标方程；(2)过直线l上的点向圆C引切线，求切线长的最小值．
3．(2019·福建五校第二次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)．在以原点O为极点，x轴正半轴为极轴的
极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ＝2cosθ.(1)求直线l的极坐标方程和曲线C的直角坐标方程；(2)若直线l与曲线C交于P，
Q两点，求∠POQ.4．(2019·蓉城名校第一次联考)在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(φ为参数)，以平面直角坐标系的
原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρcos＝－1，M为曲线C1上的动点．(1)求曲线C1的普通方程
和曲线C2的直角坐标方程；(2)求点M到曲线C2的距离d的最小值及此时点M的坐标．5．(2019·昆明市诊断测试)在平面直角坐标系
xOy中，曲线C1的参数方程为(t为参数)．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．(1
)求曲线C1的极坐标方程；(2)若曲线C2的极坐标方程为ρ＋8cosθ＝0，直线l与曲线C1在第一象限的交点为A，与曲线C2的交
点为B(异于原点)，求|AB|.6．(2019·合肥市高三质检)在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数，α∈[0，π]
)．在以直角坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线E的方程为ρ2(1＋3sin2θ)＝4.(1)求曲线C的普通方程和
曲线E的直角坐标方程；(2)若直线l：x＝t分别与曲线C，曲线E交于点A，B，求△AOB面积的最大值．7．(2019·广东六校第一
次联考)在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴正半轴为极轴，取相同的长度单位
建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ2＝2ρsin－1.(1)求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程，并指明曲线C的形状；(2)
设直线l与曲线C交于A，B两点，且|OA|＜|OB|，求－.8．(2019·郑州市高三第三次质量预测)在平面直角坐标系xOy中，直
线l的参数方程为(t为参数)，曲线C1：y＝.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为ρ＝4sin
.(1)若直线l与x，y轴的交点分别为A，B，点P在C1上，求·的取值范围；(2)若直线l与C2交于M，N两点，点Q的直角坐标为(
－2，1)，求||QM|－|QN||的值．第2讲不等式选讲[全国卷3年考情分析]年份全国卷Ⅰ全国卷Ⅱ全国卷Ⅲ2019不等式的证明
绝对值不等式的解法、不等式恒成立求参数的范围利用重要不等式求最值、解不等式2018含绝对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝
对值不等式的解法及绝对值不等式恒成立问题含绝对值函数的图象与绝对值不等式恒成立问题2017含绝对值不等式的解法、求参数的取值范围基
本不等式的应用、一些常用的变形及证明不等式的方法含绝对值不等式的解法、函数最值的求解(1)不等式选讲是高考的选考内容之一，考查的重
点是不等式的证明、绝对值不等式的解法等，命题的热点是绝对值不等式的求解，以及绝对值不等式与函数的综合问题的求解．(2)此部分命题形
式单一、稳定，难度中等，备考本部分内容时应注意分类讨论思想的应用．考点一含绝对值不等式的解法[例1](2019·全国卷Ⅱ)
已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．(1)当a＝1时，求不等式f(x)<0的解集；(2)若x∈(－∞，1)时，f(x
)<0，求a的取值范围．1．(2018·全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥
0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．2．(2019·武汉市调研测试)已知函数f(x)＝2|x＋1|－|x－a|，a∈R
.(1)当a＝1时，求不等式f(x)>0的解集；(2)若关于x的不等式f(x)≥x在x∈R时恒成立，求实数a的取值范围．3．(20
19·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)≤5－f(x－3)的解集；(2)已知关于x的不等式2f(
x)＋|x＋a|≤x＋4在[－1，1]上有解，求实数a的取值范围．考点二不等式的证明[例2](2019·全国卷Ⅰ)已知a，
b，c为正数，且满足abc＝1.证明：(1)＋＋≤a2＋b2＋c2；(2)(a＋b)3＋(b＋c)3＋(c＋a)3≥24.1．已知
函数f(x)＝|x＋1|.(1)求不等式f(x)＜|2x＋1|－1的解集M；(2)设a，b∈M，证明：f(ab)＞f(a)－f(－
b)．考点三与不等式有关的最值问题[例3](2019·全国卷Ⅲ)设x，y，z∈R，且x＋y＋z＝1.(1)求(x－1)2＋
(y＋1)2＋(z＋1)2的最小值；(2)若(x－2)2＋(y－1)2＋(z－a)2≥成立，证明：a≤－3或a≥－1.1．(201
9·贵州省适应性考试)已知函数f(x)＝|x＋5|－|x－4|.(1)解关于x的不等式f(x)≥x＋1；(2)若函数f(x)的最大
值为M，设a，b为正实数，且(a＋1)(b＋1)＝M，求ab的最大值．2．(2019·东北四市联合体模拟(一))已知函数f(x)＝
|2x－1|＋|x－1|.(1)求不等式f(x)≤4的解集；(2)设函数f(x)的最小值为m，当a，b，c为正实数，且a＋b＋c＝
m时，求＋＋的最大值．【课后专项练习】1．(2018·全国卷Ⅰ)已知f(x)＝|x＋1|－|ax－1|.(1)当a＝1时，求不等式
f(x)>1的解集；(2)若x∈(0，1)时不等式f(x)>x成立，求a的取值范围．2．(2019·济南市模拟考试)已知函数f(x
)＝|x－2|＋|2x－1|.(1)求不等式f(x)≤3的解集；(2)若不等式f(x)≤ax的解集为空集，求实数a的取值范围．3．
(2019·郑州市第二次质量预测)设函数f(x)＝|ax＋1|＋|x－a|(a＞0)，g(x)＝x2－x.(1)当a＝1时，求不等
式g(x)≥f(x)的解集；(2)已知f(x)≥2恒成立，求a的取值范围．4．(2019·洛阳市统考)已知f(x)＝|x＋1|，g
(x)＝2|x|＋a.(1)当a＝－1时，求不等式f(x)≥g(x)的解集；(2)若存在x0∈R，使得f(x0)≥g(x0)成立，
求a的取值范围．5．(2019·福州市质量检测)已知不等式|2x＋1|＋|2x－1|＜4的解集为M.(1)求集合M；(2)设实数a
∈M，b?M，证明：|ab|＋1≤|a|＋|b|.6．(2019·合肥市高三模拟)设f(x)＝3|x－1|＋|x＋1|的最小值为k
.(1)求实数k的值；(2)设m，n∈R，m≠0，m2＋4n2＝k，求证：＋≥.(3)微信公众号：数学研讨高中数学解题探讨QQ群：5189415987．(2019·江西省五校协作体试题)已知函数f(x)＝|x＋1|＋|3x＋a|，若f(x)的最小值为1.(1)求实数a的值；(2)若a＞0，m，n均为正实数，且满足m＋n＝，求m2＋n2的最小值．8．(2019·长沙市统一模拟考试)已知函数f(x)＝x|x－a|，a∈R.(1)当f(1)＋f(－1)>1时，求a的取值范围；(2)若a>0，?x，y∈(－∞，a]，不等式f(x)≤＋|y－a|恒成立，求a的取值范围．第235页共291页 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
