丁小平微积分研究成果刍议（下）问:有数学家说丁小平指出的不过是古典微积分原理的问题,这些问题在实变函数理论和现代分析那里早已解决。对此观点你
们怎么看?答:在《略论作为微积分原理的完善的实变函数》(《前沿科学》2016(4))一文中,丁小平先生作了专门的回答。这篇文章是发
人深省的。举几个例子:第一,丁小平指出测度论的错误。这事实上是掀翻了现代数学的基石。丁小平先生指出:“测度论的逻辑脉络是:区间及其
对应的线段是有测度的,而代数数对应的点的测度为0,又因为区间及其对应的线段是由代数数对应的点和超越数对应的点构成的,所以,超越数对
应的点就是测度的数学承担者。事实上,区间及其对应的线段不是由二者,而是由三者——代数数对应的点与超越数对应的点以及点与点的间隙共同
构成的,勒贝格只排除代数数是测度的数学承担者,但却不知道与实数一样多的间隙存在,就武断地说超越数或其对应的点是测度的数学承担者,这
样使用排除法是错误的。”丁小平先生接着指出:“现行实数从来就没填满过数轴,因为现行数和点都是无度量的,而数轴是有度量的,无度量的数
或点不管多到何种程度,数轴都是有空隙的。因此,从这种武断出发的任何证明都是立不住的。数是不能有测度的,只有量才可以有测度。量是数的
差,尽管量也要用数来表达。超越数对应的点与代数数对应的点在解析几何意义上没有任何不同,代数数承担不了测度,超越数也同样承担不了测度
。”前面我们说,微积分原理的第二次危机是由勒贝格测度及以之为依据的勒贝格积分解决的,既然勒贝格测度理论是立不住的,那么,问题是否解
决了不是再清楚不过了吗?第二,数学的历史而言,诚如丁小平先生所说:“分析数学,尤其是近代分析,从来就不像对数学史知之甚少的数学工作
者所理解的那个样子,也从来不像当代数学教科书所写的那个样子。以S.D.泊松(S.D.Poisson,1781-1840)为代表的数
学家从来就不同意以柯西提出的微积分原理,以亨利·庞加莱(H.Poincaré、F.Klein,1849-1925)等为代表的数学家
从来就不同意实变函数理论。人们似乎忘记,‘庞加莱、克莱因和希尔伯特,是在19世纪和20世纪数学交界线上耸立着的三个巨大身影’,‘三
个巨大身影’中的两个都反对的东西,竟然会向希尔伯特一边倒,个中就没有数学之外的原因在起作用吗?”这是不无道理的,就像张景中院士所说
:“数学家也要吃饭、穿衣。”贝克莱指出:“在某种错误的补偿中某些错误抵消其它错误,从而掩盖其中存在的漏洞。”19和20世纪之交就出
了这样一位数学领袖,他就是希尔伯特。希尔伯特通过肯定康托定理,一下子就把千疮百孔的数学变成了完美的数学。丁小平先生说康托定理是错误
的,他给出的证明十分简明:假设A、B、C、D、E为无限集合,A=B+C+D,再设C=E,则E为A的真子集。A中的真子集C足以与E一
一对应(有公理保证),故而,E中再无元素可与B和D对应。这个简单的证明对无限集合和有限集合都适用。丁小平先生接着指出:“只看到A与
E中的元素是无限的,就在不加区分增长速度的情况下举出某一个对应方式,很不妥。这种观点的幼稚之处在于,因为E中具有无限多元素,所以,
E就可以与(B+C+D)中的元素一一对应下去,可是,他们忘记了C与E是同步的无穷多,从而,B和D在E中再找不到对应项。”问:能否简
要说下丁小平在数学领域所做的工作及其主要意义?答:第一,系统而深刻地揭示现行微积分原理的错误。首先,全面地指出现行微积分原理存在的
错误和不足;其次,从数学史和科学方法论两方面指出为什么会发生这些错误;最后,在传统数-形模型条件下给出正确结果,以反衬的方式再次指
出现行微积分原理确实错了。如果真的能够静下心来想,会发现现行微积分原理的错误是比较初级的,但为什么它是世界最难的问题之一呢?这就好
比相对论原理,不是发现难,而是坚信难,不是大家爱因斯坦谁敢第一个坚信呢?丁小平先生此项工作的意义在于把数学宝藏的大门打开了。第二,
丁小平先生按照持之有故言之成理的准则,向数学界宣布,实变函数体系错误很多,并且给出了从重建测度论角度重建实变函数的思路。丁小平先生
曾经说过,他人单势孤,不想在微积分这个堡垒拿下来之前向实变函数宣战。可是,在传统数学家把战线引到这里时,他也不得不应战。他还指出柯
西体系的实分析有错误,复分析也站不住脚。丁小平先生此项工作的意义在于把实变函数和复变函数理论引向正确的方向。第三,重建数-形模型。
丁小平先生指出现行实数体系以及点、线、面、体(当然也可以是希尔伯特所谓的“桌子、椅子、啤酒瓶”)是现行数学的数-形模型。一些数学工
作者只知道其它科学需要数学模型,而不知道数学自身也是建立在模型基础之上的科学。现行的数-形模型是存在逻辑缺陷的。举个例子,一个有A
这一点,却没有下一点B(只要给出下一点B,AB两点间就可以插入第三点,B就不是下一点)的不间断的线。有了新的数-形模型,数学就可
以在不存在逻辑缺陷的数-形模型基础上发展了。新的数-形模型将引发一场数学革命,从而引发整个科学的一场革命。第四,重建新微积分原理。
新微积分原理实现了数学上的点级描述,比如给出微分的数学承担者和导数的瞬时比形式、实现积分的逐点累加等等,其中解决微分的数学承担者问
题不仅解决了数学自身的问题,也使得诸如虚位移原理等自然科学的核心问题得以解决。新微积分原理的建立,必将引发微分几何、微分方程、复变
函数和泛函分析等学科的迅猛发展。新微积分原理还修正了现行微积分体系结构的扭曲,省略了繁琐迂回的推理,在新微积分原理中微分就是对某区
间的点级微化,积分是对点级微化结果的累加,微分与积分互为逆运算,并不存在本质不同的定积分和不定积分,导数就是微商,极其简单易学。这
对我国的高等数学教育,以及科技人才的培养有重要意义。李克强总理多次呼吁解决我国数学卡科学的脖子问题,主要问题出在哪儿?了解自然科学
和工程技术前沿问题的科研工作者都知道,就出在微分方程的求解上,新微积分原理可在这方面提供方便。问:究竟什么样的微积分才是满足要求的
?答:概言之,现行微积分原理所做的是回答微积分方法行之有效,而不是回答微积分方法为什么行之有效。事实上,实践是检验真理的根本标准,
近四百年的科学技术实践早已回答了微积分方法是否行之有效的问题,不需要一个在理论上再随声附和的微积分原理。满足要求的微积分原理必须回
答“通过肯定是不正确的数学途径得出了正确的(尤其在几何上是惊人的)结果”的微积分方法为什么行之有效,还要能优化已有微积分方法,并揭
示更多微积分方法。有的数学家肯定丁小平先生指出了现行微积分原理的错误,但是认为意义有限。他们说:“微分错了微积分教材就把它删了,微
积分课可以照讲。”这些数学家忽略了微积分方法和原理的区别、导数是瞬时比但却写不成瞬时比的形式的缺陷、数学自身存在的根本价值等。十八
世纪初到十九世纪末是数学与自然科学交织在一起的突飞猛进的发展时期,以欧拉、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅里叶、高斯、泊松、哈密顿等
为代表的科学家,几乎都是精通数学、一般力学、固体力学、流体力学、天体力学、热力学、物理学等的通才,他们又几乎都是拒斥柯西微积分原理
的。正是这个原因,这些年自然科学中所使用的微积分方法普遍沿用莱布尼兹的“无穷小量”、“微分”、“导数(微商)”和约翰.贝努力的“变
分”等工具,不仅如此,即使时至今日,这些东西还都在继续沿用着。现实要求微积分原理对这些微积分方法行之有效的机理加以说明,而不是通过
削足适履的手段阉割事实,更不是通过涂抹掉无穷小、微分及变分广泛使用的科学历史来为一个不称职的微积分原理的存在创造条件。当今的数学工
作者的历史使命是重建满足客观需求的微积分原理,新的微积分原理不仅要讲明现实中丰富的微积分方法行之有效的基本机理,而且,还要能阐释自
1665年牛顿创建微积分原理以来与自然科学交织在一起的微积分方法的细枝末节的正确以及不足的原因。只有满足这些要求的微积分原理才是够
格的。对此问题,丁小平先生在《人类究竟需要什么样的微积分原理》做了详尽的回答。问:如何看待丁小平成果尚未得到鉴定问题,能否从科学史
角度谈谈对于科研成果、评定人才评价标准的看法?答:毛泽东主席曾指出:“历史上新的正确的东西,在开始的时候常常得不到多数人承认,只能
在斗争中曲折地发展。正确的东西,好的东西,人们一开始常常不承认它们是香花,反而把它们看作毒草。哥白尼关于太阳系的学说,达尔文的进化
论,都曾经被看作是错误的东西,都曾经经历艰苦的斗争。”可是,时代在进步,可不可以把误认作毒草的时间缩短些?可不可以少些科学迷信、科
学傲慢和嫉贤妒能?布鲁诺、阿贝尔、伽罗华、陆家羲的悲剧不能再重演了。上世纪八十年代是精英教育的时代,丁小平先生在那个时代就考取清华
大学工学硕士研究生、中央民族学院哲学硕士研究生和北京大学理学硕士研究生。他的同学现在大多已是科学技术带头人了,其中不乏院士,有的还
同时是北美某国科学院院士、工程院院士、欧洲科学与艺术院院士、欧洲科学院院士,这样的外籍院士对丁小平先生的学问都赞叹不已。丁小平先生
不仅在数学领域有开创性成就,在一般哲学、马克思主义、心理学、美学、管理学、物理学、红楼梦学、现代中医学等也有着开创性的成果,我所知道的他指导的博士研究生和博士后不下二十个研究方向。他义务教学近二十多年,从来没有收取过学生一分钱,不管是品德还是学问,丁小平先生都是出类拔萃的。我们还是些很幼稚的学生,没有资格做科学裁判,甚至我们的看法可能还是偏见。我们的看法都不重要,重要的是学术界和社会能够真正落实“深化三评”、“破除四唯”等文件精神,早日把丁小平先生的研究结论进行鉴定。石耶?璞耶?自然见分晓。 |
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