【原】第一百九十八夜：角平分线与最值

孟夏，莺羽晴歌，林深翠点。

一爿清风一爿月，字水宵灯不夜天。

然而该来的终究会来，该学的，到底得学。

也就趁着这将热未热天气，闲看隔市江光入座间。

1  围观

一叶障目，抑或胸有成竹

  

选一道高一的试题，旨在表明我们并非只关注高三。事实上，哪个年级并不重要，关键在于题目，只要是有意思的题，我是不会轻易放过的。

什么题是有意思的题？

比如上面这道题就有点意思，一直关注我们的小伙伴不会陌生，这是一道典型的“阿波罗尼斯圆”问题。

也许高一尚未接触到圆，没关系，我们抽丝剥茧，层层递进，总有一种适合你。

2  套路

手足无措，抑或从容不迫

  

3  脑洞

浮光掠影，抑或醍醐灌顶

方法有点多，还可以继续。

当然，方法多并不意味着是件好事。如果只有一种，没得选择，死磕说不定能破。

你一定想知道我最喜欢哪种？

我一种也不喜欢，无论是哪种，都免不了要消磨神经。如果非要选一种，我选择法2，既容易想，也容易算，适合我这种无脑操作。

【法1】，余弦定理。利用角平分线及余弦定理建立方程组，联立求得参数k与角度的关系，进而求得参数的范围。这个方法不难想，但却较难算。

【法2】，等面积。利用面积相等建立参数k与角度的关系，显然法2的目标与法1完全一致，但高下立判。

【法3】，基底法。利用平面向量基本定理得到角平分线的线性表示，然后平方得到目标函数。这个方法很难想到，跨章节且需要极强的思维，充分体现了向量的工具作用。

【法4】，坐标法。建系不是什么新奇的套路，通过计算发现点A的轨迹为圆——阿波罗尼斯圆。阿氏圆属于解析几何的范畴，但时常在解三角形中冒泡。

【法5】，几何法。添辅助线得到相似三角形，利用两边之和大于第三边即可。没什么意外的，高中试题中有许多问题都可借助初中知识求解，有些还特别简单。

  

4  操作

形同陌路，抑或一见如故