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情形1 . 弦 若圆的题目中出现关于弦的相关知识点，要想到弦相关的定理和一些性质，垂径定理、弦心距、勾股定理等． 例1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点P在⊙O上，且PD∥CB，弦PB与CD交于点F （1）求证：FC＝FB； （2）若CD＝24，BE＝8，求⊙O的直径．  分析： （1）根据两平行弦所夹的弧相等，得到弧PC＝弧BD，然后由等弧所对的圆周角相等及等角对等边，可以证明FC＝FB． （2）连接OC，在Rt△OCE中用勾股定理计算出半径，然后求出直径． 证明： （1）∵PD∥CB， ∴弧PC＝弧BD， ∴∠FBC＝∠FCB， ∴FC＝FB． （2）解：如图，连接OC， 设圆的半径为r，在Rt△OCE中， OC＝r，OE＝r﹣8，CE＝12， ∴r²＝(r﹣8)²+12²， 解方程得r＝13．所以⊙O的直径为26． 情形2 . 直径 出现直径时，要联想圆心角、圆周角等性质，构造等腰三角形、直角三角形等图形。 例2.如图，在⊙O中，将弧BC沿弦BC所在直线折叠，折叠后的弧与直径AB相交于点D，连接CD． （1）若点D恰好与点O重合，则∠ABC＝______ °； （2）延长CD交⊙O于点M，连接BM．猜想∠ABC与∠ABM的数量关系，并说明理由．  分析： （1）根据折叠的性质和圆周角定理解答即可； （2）作点D关于BC的对称点D'，利用对称的性质和圆周角定理解答即可． 证明： （1）∵若点D恰好与点O重合， ∴∠COD＝60°（跳步啦）， ∴∠ABC＝∠OBC＝∠COD＝30°； （2）∠ABM＝2∠ABC， 作点D关于BC的对称点D'， 连接CD'，BD'， ∵对称， ∴∠DBC＝∠D'BC，DC＝D'C， 连接CO，D'O，AC， ∴∠AOC＝2∠ABC， ∠D'OC＝2∠D'BC， ∴∠AOC＝∠D'OC， ∴AC＝D'C， ∵DC＝D'C，∴AC＝DC， ∴∠CAD＝∠CDA， ∵AB是直径，∴∠ACB＝90°， ∴∠CAD+∠ABC＝90°， 设∠ABC＝α， 则∠CAD＝∠CDA＝90°﹣α， ∴∠ACD＝180°﹣∠CAD﹣∠CDA＝2α， 即∠ACD＝2∠ABC， ∵∠ABM＝∠ACD， ∴∠ABM＝2∠ABC． 情形3：切线 如果题目给出有切线，我们可以思考添加过切点的半径，连结圆心和切点，利用切线的性质和定理构造出直角或直角三角形，再使用勾股定理解出一些边角关系。 如图，AB是⊙O的弦，半径OE⊥AB，P为AB的延长线上一点，PC与⊙O相切于点C，CE与AB交于点F． （1）求证：PC＝PF； （2）连接OB，BC，若OB∥PC，BC＝3√2 ，tanP＝3/4，求FB的长．  分析： （1）连接OC，根据切线的性质以及OE⊥AB，可知∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°，从而可知∠EFA＝∠FCP，由对顶角的性质可知∠CFP＝∠FCP，所以PC＝PF； （2）过点B作BG⊥PC于点G，由于OB∥PC，且OB＝OC，BC＝3√2 ，从而可知OB＝3，易证四边形OBGC是正方形，所以OB＝CG＝BG＝3，所以BG/PG=3/4，所以PG＝4，由勾股定理可知：PB＝5，所以FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2． 证明： （1）连接OC， ∵PC是⊙O的切线， ∴∠OCP＝90°， ∵OE＝OC，∴∠E＝∠OCE， ∵OE⊥AB， ∴∠E+∠EFA＝∠OCE+∠FCP＝90°， ∴∠EFA＝∠FCP， ∵∠EFA＝CFP， ∴∠CFP＝∠FCP， ∴PC＝PF. （2）过点B作BG⊥PC于点G， ∵OB∥PC，∴∠COB＝90°， ∵OB＝OC，BC＝3√2， ∴OB＝3， ∵BG⊥PC， ∴四边形OBGC是正方形， ∴OB＝CG＝BG＝3， ∵tanP＝3/4， ∴BG/PG=3/4，∴PG＝4， ∴由勾股定理可知：PB＝5， ∵PF＝PC＝7， ∴FB＝PF﹣PB＝7﹣5＝2． 情形4：相交切线 考虑连结圆心和切点，或连结圆心和圆外的一点，或连结两切点。得出一些特殊的三角形和边角关系，比如全等、相似、垂直、边角关系等。 例4.如图所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，以AB为直径的⊙O与DC相切于E．已知AB＝8，边BC比AD大6． （1）求边AD、BC的长； （2）在直径AB上是否存在一动点P，使以A、D、P为顶点的三角形与△BCP相似？若存在，求出AP的长；若不存在，请说明理由．  分析： （1）过D作DF⊥BC于F，设AD＝x，则DE＝AD＝x，EC＝BC＝x+6，根据勾股定理就到一个关于x的方程，就可以解得AD的长； （2）△ADP和△BCP相似，有△ADP∽△BCP和△ADP∽△BPC两种情况进行讨论，根据相似三角形的对应边的比相等，就可以求出AP的长. 情形5：内切圆 过内心作三角形各边的垂线段或者连结圆心到各三角形顶点，构造特殊的边角关系和三角形。圆心到三角形顶点的连线是角平分线；圆心到三角形三边的距离相等。 如图，AB＝AC，CD⊥AB于点D，点O是∠BAC的平分线上一点，⊙O与AB相切于点M，与CD相切于点N （1）∠AOC＝______； （2）若NC＝3，BC＝2√5 ，求DM的长．  分析： （1）只要证明OC平分∠ACD，即可解决问题； （2）由切线长定理可知：AM＝AE，DM＝DN，CN＝CE＝3，设DM＝DN＝x，AM＝AE＝y，在Rt△BDC中，根据BC²＝BD²+CD²，构建方程即可解决问题. 情形6：外接圆 一般先构造一条直径，再根据题目的一些条件构造特殊的三角形和边角关系。 如图，⊙O是△ABC的外接圆，PA是⊙O切线，PC交⊙O于点D． （1）求证：∠PAC＝∠ABC； （2）若∠BAC＝2∠ACB，∠BCD＝90°，AB＝2√3 ，CD＝2，求⊙O的半径．  分析： （1）连接AO延长AO交⊙O于点E，连接EC．想办法证明：∠B+∠EAC＝90°，∠PAC+∠EAC＝90°即可解决问题； （2）连接BD，作OM⊥BC于M交⊙O于F，连接OC，CF．设⊙O的半径为x．求出OM，根据CM^2＝OC^2﹣OM^2＝CF^2﹣FM^2构建方程即可解决问题. 需要电子版，请评论区留言。 |
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