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今天我们研究一个比较有趣的几何证明题，这个问题是著名数学大师华罗庚在《1978年全国中学生数学竞赛题解》的前言中提到的。 之所以说这个题目比较有趣，第一，是因为这个题目看上去没有什么条件，只是直线之间的相交，没有任何的限制，这样的话，求证的结论就比较具有普适性。 第二，比较有趣的是，作为中学生数学竞赛，这个题的解法有初中知识的解法，有高中知识的解法，也有小学知识的解法，还有大学知识的解法。华罗庚先生指出这个题包含了射影几何学的基本原理，也就是大学的常用解法了。 射影几何学的知识先放在一边，我们这次研究三种初等数学的解法，从小学到高中各一种。下面，我们先来看一看题目。 四边形ABCD为凸四边形，两边AB、CD延长线相交于E，两边AD、BC延长线相交于点F，对角线BD、AC延长线分别交直线EF于G、H。 求证： 作为中学生数学竞赛中的题目，我们首先给出一种高中生阶段的解法。证明过程中的式子里，我们用△ABC表示三角形ABC的面积。 证明一：设△DEF中，EF边上的高为h，则有 2△DFG = FG·h = DF·DG·sin∠FDG， (1) 得到， 同理，在△DGE，△DEH，△DFE中，可以得到 通过以上四个式子，可以得到 同理，可以得到 所以有 类似的，有 由此，根据以上两式可得
求证成立。 这个证明过程相对繁琐一些，通过面积法及三角形面积公式
进行角的正弦值得转化得到，在倒数第二个式子用到了三角函数的等式
其余部分基本是初中和小学的知识点，而且整个解题过程完全应用课本上的知识点，不需要额外的竞赛知识点辅助。 接下来，给出一种初中阶段的解法，这种解法需要初中阶段的竞赛知识，主要是应用梅涅劳斯定理和塞瓦定理。我们首先给出这两个定理及证明。 梅涅劳斯定理： 如图直线DF与△ABC的三边AB、BC、AC及其延长线分别交于点D、F、E，则有
证明：过点C作CG∥AB交DF于G，根据题意 △CGF∽△BDF，有
同时有，△ADE∽△CGE
综合以上二式，得到
证毕。 接下来我们给出塞瓦定理 塞瓦定理： 如图△ABC中的三条线AD、BE、CF相交于点G，则有
证明：如图，过点A作KH∥BC，交BE、CF延长线与点H、K，则有 △BFC∽△AFK，△BEC∽△HEA，所以有
又由△BDG∽△HAG，△CDG∽△KAG，所以有
即
综合上面的两个式子，有
证毕。 这两个定理里面也包含了射影几何学的原理，属于初中数学竞赛里面的经典定理，因为条件简单，结论优美，很多三角形问题都可以通过这两个定理得到解决，以上只给出了一种证明方法，同学们可以自己思考其它方式，还有很多证明方法。 有了这两个定理，我们再回头看开始的题目如何证明。 证明二： 根据题意，△DEF被直线AH所截，根据梅涅劳斯定理，有
又，在△DEF中，DG、FC、EA相交于点B，根据塞瓦定理，有
对比以上两式，有
证毕。 这种方法应用了初中竞赛中的经典定理，只用梅涅劳斯定理也可以证明出来，同学们可以自己试一试，只不过过程相对多一些，这两个定理在解决中考选择填空压轴题和三角形证明问题中往往能出奇制胜，快速得分。 接下来，我们给出一种小学阶段的证明方法，这种方法依据的原理就是，共高三角形的面积比等于底边长的比，由此出发，我们得到一个很有用的结论，即： 若直线AB和直线CD相交于点E，则有
有以下四种情况，我们给出简单的证明过程
证明：
证毕。 从此结论出发，我们给出原问题的一个证明方法 证明三：
证毕。 这种证明方法依托于边长比和面积比的互化，引入中间量一乘一除是关键技巧，对小学生来说，虽然没有新的知识点，但是需要极其灵活的思维，掌握基本的原理是关键。 对比以上三种方法，在不引入课本外新知识的情况下，高中阶段的解题方法思路相对直接，但是过程繁琐，需要不断尝试得到过程，小学阶段的解题方法需要比较高的技巧，掌握起来相对困难。初中阶段的解题方法最为简便，需要竞赛中的经典定理作为辅助。 再加上大学的射影几何学的证明方法，一个问题，从小学做到大学，可谓神题了。 |
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