有关平面图形操作设计的中考题解析
山东沂南四中276399李树臣
【山东教育，2019第4期】
目前的中考试卷中出现了大量的与操作有关的题目，解答这样的问题，需要经历观察、操作、探究、猜想、验证、推理等一系列的活动过程，这些过程有利于培养学生的多种数学能力，不断提高学生的整体素养.笔者在本文从2018年的中考题中选取了部分与图形操作有关的题目进行分析与解答，希望能对广大教师积极开展实验教学起到一定的促进作用.
一、设计符合要求的图形
例1（长春）图、图均是88的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段OM、ON的端点均在格点上．在图、图给定的网格中以OM、ON为邻边各画一个四边形，使第四个顶点在格点上．要求：
（1）所画的两个四边形均是轴对称图形．
（2）所画的两个四边形不全等．
析解：如图所示：
点评:本题给出图形的一部分,要求画出符合特定条件的四边形,主要考查学生对轴对称的理解能力和动手操作能力.解答时首先要观察给定图形的特点，然后再根据题目要求动手设计.设计图形的问题能激发全体学生的学习兴趣，积极思考，大胆探索，有利于培养学生的发散性思维能力、动手操作能力，符合《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）提出的“获得分析问题和解决问题的一些基本方法，体验解决问题方法的多样性，发展创新意识”的要求，而且对于学生的审美意识、细心观察等品质的形成也是有帮助的.
二、图形的折叠问题
例2（）再读教材：
宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）
第一步，在矩形纸片一端，利用图的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．
第二步，如图，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．
第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图中所示的AD处．
第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DEND，则图中就会出现黄金矩形．问题解决：
（1）图中AB=（保留根号）；
（2）如图，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；
（3）请写出图中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．
实际操作（4）结合图，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金，用字母表示出来，并写出它的长和宽．
解：（1）如图中，在RtABC中，AB=，故答案为．
（2）四边形BADQ是菱形．理由：如图中，四边形ACBF是矩形，BQ∥AD，AB∥DQ，
四边形ABQD是平行四边形，由翻折可知：AB=AD，四边形ABQD是菱形．
（3）如图中，矩形BCDEMNDE都是黄金矩形．+1，MN=2，∴=，矩形MNDE是黄金矩形．
（4）在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH正方形，此时四边形BGHE为所求黄金矩形如图长GH=，宽HE=3.
点评本题以教材中的“黄金矩形”为出发点，以折叠矩形为“手段”，的“黄金矩形”出发用宽为的矩形纸片折叠黄金矩形“黄金矩形”了黄金矩形的定义、勾股定理、翻折变换等知识，属于中考创新题目“黄金矩形”的含义.学生在解答的过程中，其、猜想能力和推理论证能力都将提高和发展.
三、图形的运动问题
例3（广西）如图，在平面直角坐标系中，已知ABC的三个顶点坐标分别是A（1，1），B（4，1），C（3，3）．（1）将ABC向下平移5个单位后得到A1B1C1，请画出A1B1C1；
（2）将ABC绕原点O逆时针旋转90°后得到A2B2C2，请画出A2B2C2；
（3）判断以O，A1，B为顶点的三角形的形状．（无须说明理由）
析解：（1）（2）如图所示，A1B1C1即为所求，A2B2C2即为所求（3）OA1B是等腰直角三角形OB=OA1==，A1B==，OB2+OA12=A1B2，所以OA1B为等腰直角三角形．
解答有关旋转的问题时，要注意在旋转变换中，对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．
例4（济宁）在一次数学活动课中，某数学小组探究求环形花坛（如图所示）面积的方法，现有以下工具卷尺直棒EFT型尺（CD所在的直线垂直平分线段AB）．
（1）在图中，请你画出用T形尺找大圆圆心的示意图（保留画图痕迹，不写画法）；
（2）如图，小华说：我只用一根直棒和一个卷尺就可以求出环形花坛的面积，具体做法如下：将直棒放置到与小圆相切，用卷尺量出此时直棒与大圆两交点M，N之间的距离，就可求出环形花坛的面积如果测得MN=10m，请你求出这个环形花坛的面积．
析解：（1）如图点O即为所求；
（2）设切点为C，连接OM，OC．S圆环=π?OM2﹣π?OC2=πOM2-OC2）=π?CM2．MN是切线，MN，CM=5，S圆环=25π．环形花坛（1）T型尺（2）（山西）祥云桥位于省城太原南部，该桥塔主体由三根曲线塔柱组合而成，全桥共设13对直线型斜拉索，造型新颖，是“三晋大地”的一种象征．某数学“综合与实践”小组的同学把“测量斜拉索顶端到桥面的距离”作为一项课题活动，他们制订了测量方案，并利用课余时间借助该桥斜拉索完成了实地测量．测量结果如下表．项目 内容 课题 测量斜拉索顶端到桥面的距离 测量示意图 说明：两侧最长斜拉索AC，BC相交于点C，分别与桥面交于A，B两点，且点A，B，C在同一竖直平面内． 测量数据 A的度数 B的度数 AB的长度 38° 28° 234米 … … （1）请帮助该小组根据上表中的测量数据，求斜拉索顶端点C到AB的距离（参考数据：sin38°0.6，cos38°0.8，tan38°0.8，sin28°0.5，cos28°0.9，tan28°0.5）
（2）该小组要写出一份完整的课题活动报告，除上表的项目外，你认为还需要补充哪些项目（写出一个即可）．
解：（1）过点C作CDAB于点D设CD=x米，=x，BD==2x，根据
AD+BD=AB=234，x+2x=234，解得x=72．答：斜拉索顶端点C到AB的距离为72米．（2）还需要补充的项目可为：测量工具，计算过程，人员分工，指导教师，活动感受等．（答案不唯一）
CD⊥AB构造两个直角三角形，利用三角函数的知识用含CD的式子表示出AD和BD，进而建立方程是解题的关键.
六、有关设计方案的问题
例6(福建B)在足够大的空地上有一段长为a米墙MN墙总长米的围成ABCD．
（1）如图17，若a=20，所围成的矩形菜园ABCD的面积为450平方米时，墙
（2）已知0＜a＜50，且空地足够大，如图18，请你合理利用旧墙
析解：（1）设AD=x米，则AB=米，依题意得
=450，解得x1=10，x2=90（舍去）.
所以利用旧墙AD的长为10米．
（2）设AD=x米，矩形ABCD的面积为S平方米，
①如果按图17方案围成矩形菜园，依题意得：
S==-（x-50）2+1250，0＜x≤a，
因为0＜a＜50，所以x≤a＜50时，S随x的增
大而增大，当x=a时，S最大=50a﹣a2。
②如果按图19方案围成矩形菜园，依题意得
S==-[x-(25+)]2+(25+)2，a≤x＜50+。
当0＜a＜时，且x=25+时，S最大=（25+）2=，
当25+≤a，即≤a＜50时，且x=a时，S最大==50a-a2.
综合①②，当0＜a＜时，按图19方案围成矩形菜园面积最大，最大面积为平方米，当≤a＜50时，两种方案围成的矩形菜园面积的最大值相等。
综上，当0＜a＜时，围成长和宽均为（25+）米的矩形菜园面积最大，最大面积为平方米；当≤a＜50时，围成长为a米，宽为（50﹣）米的矩形菜园面积最大，最大面积为（50a-a2）平方米．
点评：本题从与我们生活密切相关的事件——营造菜园入手，设计了两个问题.主要考查了学生建立一元二次方程模型和一元二次函数模型解答实际问题的能力.解答第（1）问的关键是根据矩形菜园的面积建立一元二次方程模型.解答第（2）问时，要根据旧墙长度a和AD长度表示矩形菜园长和宽，注意分类讨论S与菜园边长之间的数量关系．
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