中考热门压轴题型探索——对角互补专题探究（三）
例2.已知:四边形ABCD，AB=AD，∠B=∠D=90°,∠EAF=30°,过F作FM∥BC交AE于M.
（1）当∠BAD=60°时(如图1所示)，求证︰BE+FD=FM；
（2）当∠BAD=90°时(如图2所示)，则线段BE，DF,FM的数量关系为_______________；
（3）在（1）的条件下(如图3所示)，连接DB交AE于点G，交AF于点K，交MF于点N，
若BG:DK=3:5，FM=14时，KN的长.
变式训练：
1．已知四边形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，∠BAD=∠ADC，点F在CD边上运动(点E与C、D两点不重合)
（1）若∠BAD=90°(如图l)，AD=2AB，∠EAF=450，求证：DF+2BE=FG
（2）若∠BAD=150°(如图2)，AB=AD,∠EAF=300,则DF、BE、FG的数量关系为.
（3）在（1）的条件下（如图3）DF=4AB=6,直线AF交直线BG于点H，求GH的长.
2.已知：四边形ABCD中，AD∥BC,AB=CD=kAD,∠BAD=∠ADC,点E在CD边上运动（点E与C、D两点不重合），将AE绕点A顺时针旋转30°后与BC边交于点F，过点E作EM∥BC交AF于点M.
（1）若k=1,∠BAD=120°(如图1)，求证:DE+BF=ME.
（2）若k=,∠BAD=90°(如图2)，则线段DE、BF、ME的数量关系为.
（3）在（1）的条件下，若CE=2，AE=,求ME的长.
例3.如图，正方形ABCD中，P为边BC延长线上的一点，E为DP的中点，DP的垂直平分线交边DC于M，交边于交边AB的延长线于N
（1）求证DP=MN;
（2）若PC：PB=1:3，那么线段QE与QN的数量关系为______________________;
（3）如图2，连接BD、MP，绕着点P旋转∠CPM，角的两边分别交边AB、AD于点H、K，交边CD于点R，当四边形DBQM的面积为24，MR：RC=1：2时，求.
变式训练：
1.已知：在正方形ABCD中，P为直线AD上一点，连接BP,以BP为底边作等腰直角角形△PBE,
连接AE.
（）如图1，当点P在线段AD上时，求证：AB+AP=AE;
（）如图2,当点P在线段DA的延长线上时，线段AB、AP、AE的数量关系是
（3）在（2）的条件下，过点A作AF∥PE,AF交BC的延长线于F,过点C作∠DCF的平分线，交AF于点H,若AB=4,四边形PBEA的面积为5，求线段CH的长
2.已知等边三角形ABC，点D为BC的中点，∠DM=120°两边分别交直线AC、AB分别于点M、N
（1）如图，求证：MC=AB+BN；
图线段、A、的数量关系是；
∠NDM的两边DM、DN分别反向延长，交AB、AC的延长线分别于点E、F，连接EF若BN=1，CM=2，求EF的长；
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图3
图2
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