知识点14反比例函数图象、性质及其应用一、选择题6．（2019·温州）验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据
如下表．根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（）近视眼镜的度数y（度）2002504005001000镜片焦距x（米）0.5
00.400.250.200.10A．B．C．D．【答案】A【解析】从表格中的近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）
的对应数据可以知道，它们满足xy=100，因此，y关于x的函数表达式为．故选A.9．（2019·株洲）如图所示，在直角坐标系xOy
中，点A、B、C为反比例函数上不同的三点，连接OA、OB、OC，过点A作AD⊥y轴于点D，过点B、C分别作BE，CF⊥x轴于点E、
F，OC与BE相交于点M，记△AOD、△BOM、四边形CMEF的面积分别为S1、S2、S3，则（）A．S1＝S2＋S3B．
S2＝S3C．S3＞S2＞S1D．S1S2＜S32第9题【答案】B【解析】由题意知S1=，S△BOE=S△COF=,
因为S2=S△BOE-S△OME,S3=S△COF-S△OME，所以S2＝S3，所以选B。9．（2019·娄底）将的图象向右平移
1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象如图（3）．则所得图象的解析式为（）B．C．D．【答案】C．【解析】二次
函数平移的规律“左加右减，上加下减”对所有函数的图象平移均适合．∵将的图象向右平移1个单位长度后所得函数关系式为，∴将的图象向右平
移1个单位长度，再向上平移1个单位长度所得图象的解析式为．故选C．7．（2019·娄底）如图（1），⊙O的半径为2，双曲线的解析式
分别为和，则阴影部分的面积为()A．B．C．D．【答案】C【解析】根据反比例函数，及圆的中心对称性和轴对称
性知，将二、四象限的阴影部分旋转到一、三象限对应部分，显然所有阴影部分的面积之和等于一、三象限内两个扇形的面积之和，也就相当于一个
半径为2的半圆的面积．∴．故选C．11．（2019·衡阳）如图，一次函数y1＝kx＋b（k≠0）的图象与反比例函数y2＝（m为常数
且m≠0）的图象，都经过A（－1，2），B（2，－1），结合图象，则不等式kx＋b＞的解集是（）．A.x＜－1B.－1＜x
＜0C.x＜－1或0＜x＜2D.－1＜x＜0或x＞2【答案】C．【解析】由图象得，不等式kx＋b＞的解集是x＜－1或0＜x＜
2，故选C．1.（2019·滨州）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）的图象
经过对角线OB的中点D和顶点C．若菱形OABC的面积为12，则k的值为（）A．6B．5C．4D．3【答案】C【解析】如图，连接
AC，∵四边形OABC是菱形，∴AC经过点D，且D是AC的中点．设点A的坐标为（a，0），点C坐标为（b，c），则点D坐标为（，）
．∵点C和点D都在反比例函数y=的图象上，∴bc=×，∴a=3b；∵菱形的面积为12，∴ac=12，∴3bc=12，bc=4，即k
=4．故选C．法2：设点A的坐标为（a，0），点C的坐标为（c，），则，点D的坐标为（），∴，解得，k＝4，故选C．2.（201
9·无锡）如图，已知A为反比例函数（<0）的图像上一点，过点A作AB⊥轴，垂足为B.若△OAB的面积为2，则k的值为（）A.2
B.-2C.4D.-4【答案】D【解析】如图，∵AB⊥y轴，S△OAB＝2，而S△OAB|k|，∴|k|＝2，∵
k＜0，∴k＝﹣4．故选D．3.（2019·济宁）如图，点A的坐标是(－2，0)，点B的坐标是(0，6)，C为OB的中点，将△A
BC绕点B逆时针旋转90°后得到△A''BC''．若反比例函数y＝的图象恰好经过A''B的中点D，则k的值是（）A．9B．
12C．15D．18【答案】C【解析】取AB的中点（－1，3），旋转后D（3，5）∴k＝3×5＝15，故选C
.4.(2019·枣庄)如图,在平面直角坐标系中等腰直角三角形ABC的顶点A,B分别在x轴,y轴的正半轴上,∠ABC＝90°
,CA⊥x轴,点C在函数(x>0)的图象上,若AB＝1,则k的值为A.1B.C.D.2【答案】A【解析】在等腰直角三角形ABC中,
AB＝1,∴AC＝,∵CA⊥x轴,∴yC＝,Rt△ABC中,∠BAC＝45°,CA⊥x轴,∴∠BAO＝45°,∴∠ABO＝45°,
∴△ABO是等腰直角三角形,∴OA＝,∴xC＝,k＝xC`yC＝1,故选A5.（2019·淄博）如图，…是分别以…为直角顶点，一
条直角边在x轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点…均在反比例函数（x＞0）的图象上，则的值为（）A.B.6C.D.【答案】2
0【解析】如图，过点C1作C1M⊥x轴，∵△OC1A1是等腰直角三角形，∴C1M＝OM＝MA1，设C1的坐标是（a，a）（a＞0）
，，把（a，a）代入解析式（a＞0）中，得a＝2，∴y1＝2,∴A1的坐标是（4，0），又∵△C2A1A2是等腰直角三角形，∴设C
2的纵坐标是b（b＞0），则C2的横坐标是4＋b，把（4＋b，b）代入函数解析式得b＝，解得b＝2﹣2，∴y2＝2﹣2，∴A2的坐
标是（4，0），设C3的纵坐标是c（c＞0），则C3横坐标为4＋c，把（4＋c，c）代入函数解析式得c＝，解得c＝2﹣2，∴y3＝
2﹣2.∵y1＝2﹣2，y2＝2﹣2，y3＝2﹣2，…∴y100＝2﹣2，∴y1＋y2＋y3＋…＋y100＝2＋2﹣2＋2﹣2＋…
＋2﹣2＝2＝20.6file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.（2019·凉山）如图，正比例函
数y=kx与反比例函数y=的图象相交于A、C两点，过点A作x轴的垂线交x轴于点B，连接BC，则△ABC的面积等于（）A.8
B.6C.4D.2【答案】C【解析】设A点的坐标为（m，），则C点的坐标为（-m，-），∴，故选C.7.（2019·天津
）若点A(-3，y1),B(-2,y2),C(1,y3)都在反比例函数的图像上，则y1，y2，y3的大小关系是A.y2的图像在二四象限，如图，将A,B,C三点在图像上表示，答案为B8.(2019·台州)已知某函数的图象C与函数的图象关于直线y＝
2对称.下列命题:①图象C与函数的图象交于点(,2);②点(,－2)在图象C上;③图象C上的点的纵坐标都小于4;④A(x1,y1)
,B(x2,y2)是图象C上任意两点,若x1>x2,则y1>y2.其中真命题是()A.①②B.①③④C.②③④D.①②③④
【答案】A【解析】令y＝2,得x＝,这个点在直线y＝2上,∴也在图象C上,故①正确;令x＝,得y＝6,点(,6)关于直线y＝2的对
称点为(,－2),∴点(,－2)在图象C上,②正确;经过对称变换,图象C也是类似双曲线的形状,没有最大值和最小值,故③错误;在同一
支上,满足x1>x2,则y1>y2,但是没有限制时,不能保证上述结论正确,故④错误.综上所述,选A.【知识点】反比例函数图象的性质
,对称变换,交点坐标,增减性9file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\精品分类汇编，合作共赢！组织者
：仓猛.（2019·重庆B卷）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的边OA在x轴上，点A（10,0），sin∠COA=.若反比例
函数y=(k﹥0,x﹥0)经过点C，则k的值等于（）【答案】C【解析】过C作CD⊥OA交x轴于D∵OABC为菱形，A（10,0）
∴OC=OA=10.∵sin∠COA=∴=即=∴CD=8,∴OC=6,∴C（6,8）∵反比例函数y=(k﹥0,x﹥0
)经过点C,k=6×8=48.故选Ｃ．10.（2019·重庆A卷）如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A，D分别在x
轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数y＝（k＞0，x＞0)的图象经过矩形对角线的交点E．若点A（2，0），D（0，4），则k的
值为（）A．16B．20C．32D．40【答案】B．【解
析】如图，过点B作BF⊥x轴于点F，则∠AFB＝∠DOA＝90°．∵四边形ABCD是矩形，∴ED＝EB，∠DAB＝90°．∴∠OA
D＋∠BAF＝∠BAF＋∠ABF＝90°．∴∠OAD＝∠FBA．∴△AOD∽△BFA．∴．∵BD∥x轴，A（2，0），D（0，4）
，∴OA＝2，OD＝4＝BF．∴．∴AF＝8．∴OF＝10，E(5，4)．∵双曲线y＝过点E，∴k＝5×4＝20．故选B．二、填空
题18．（2019·威海）如图，在平面直角坐标系中，点A，B在反比例函数的图像上运动，且始终保持线段的长度不变，M为线段AB的中点
，连接OM.则线段OM的长度的最小值是（用含k的代数式表示）.【答案】【解析】过点A作x轴⊥AC，过点B作y轴⊥BD，垂足为C,
D，AC与BD相交于点F，连接OF.当点O、F、M在同一直线上时OM最短.即OM垂直平分AB.设点A坐标为（a，a＋4），则点B
坐标为（a＋4，a），点F坐标为（a，a）.由题意可知△AFB为等腰直角三角形，∵AB＝∴AF＝BF＝4，∵点A在反比例函数y＝
的图像上，∴a(a＋4)＝k，解得a＝，在RT△OCF中，OF＝＝a＝＝，∴OM＝OF＋FM＝＝.14．（20
19·山西）如图,在平面直角坐标系中,点O为坐标原点,菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上,点A的坐标为(－4,0),点D的坐标为
(－1,4),反比例函数y＝(x>0)的图象恰好经过点C,则k的值为________.第14题图【答案】16【解析】分别过点D,C
作x轴的垂线,垂足为E,F,则AD＝5,∴AB＝CB＝5,∴B(1,0),由△DAE≌△CBF,可得BF＝AE＝3,CF＝DE＝4
,∴C(4,4),∴k＝xy＝16.第14题答图15．（2019·黄冈）如图，一直线经过原点0，且与反比例函数y＝(k＞0)相交
于点A，点B，过点A作AC⊥y轴，垂足为C.连接BC.若△ABC的面积为8，则k＝.【答案】8【解析】因为反比例函数与正比例函数
的图象相交于A、B两点，∴A、B两点关于原点对称，∴OA＝OB，∴△BOC的面积=△AOC的面积=8÷2=4，又∵A是反比例函数y
＝图象上的点，且AC⊥y轴于点C，∴△AOC的面积＝|k|，∴|k|＝2，∵k＞0，∴k＝8．17．（2019·益阳）反比例函数的
图象上有一点P(2，n)，将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q.若点Q也在该函数的图象上，则k＝.【答案】6【解
析】∵P(2，n)向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q（3，n-1），且点P、Q均在反比例函数的图象上，∴，∴，解得k=6
.1.（2019·潍坊）如图，Rt△AOB中，∠AOB=90°，顶点A，B分别在反比例函数与的图象上．则tan∠BAO的值为．
【答案】【解析】分别过点A、B作x轴的垂线AC和BD，垂足为C、D.则△BDO∽△OCA，∴∵S△BDO=，S△ACO=，∴，∴t
an∠BAO=．2.(2019·巴中)如图,反比例函数(x>0)经过A,B两点,过点A作AC⊥y轴于点C,过点B作BD⊥y轴于点
D,过点B作BE⊥x轴于点E,连接AD,已知AC＝1,BE＝1,S矩形BDOE＝4,则S△ACD＝________.【答案】【解析
】连接AO,由反比例函数k的几何意义可知,S△AOC＝S矩形BDOE＝2,因为AC＝1,所以CO＝4,因为DO＝BE＝1,所以CD
＝3,所以S△ACD＝.3.（2019·达州）如图，A、B两点在反比例函数的图像上，C、D两点在反比例函数的图像上，AC⊥x轴
于点E，BD⊥x轴于点F，AC=2，BD=4，EF=3，则=___________..〈【答案】4【解析】设A（m，）B（m，）
C（n，）D（n，）由题意得：m-n=3,,,联立三个式子，解得：.18．（2019·长沙）如图，函数(k为常数，
k＞0)的图象与过原点的O的直线相交于A，B两点，点M是第一象限内双曲线上的动点（点M在点A的左侧），直线AM分别交x轴，y轴于C
，D两点，连接BM分别交x轴，y轴于点E，F．现有以下四个结论：①△ODM与△OCA的面积相等；②若BM⊥AM于点M，则∠MBA=
30°；③若M点的横坐标为1，△OAM为等边三角形，则k=；④若MF=MB，则MD=2MA．其中正确的结论的序号是．【答案】①③
④4.（2019·眉山）如图，反比例函数的图像经过矩形OABC对角线的交点M，分别交AB、BC于点D、E，若四边形ODBE的面积
为12，则k的值为．【答案】4【解析】由题意得：E、M、D位于反比例函数图象上，则S△OCE=|k|，S△OAD=|k|，过点M
作MG⊥y轴于点G，作MN⊥x轴于点N，则S矩形ONMG=|k|，又∵M为矩形ABCO对角线的交点，则S矩形ABCO=4S矩形ON
MG=4|k|，由于函数图象在第一象限，∴k＞0，则，∴k=4．故选：B.5.（2019·湖州）如图，已知在平面直角坐标系xOy
中，直线y＝x－1分别交x轴、y轴于点A和点B，分别交反比例函数y1＝（k＞0，x＞0），y2＝（x＜0）的图像于点C和点D，过点
C作CE⊥x轴于点E，连结OC，OD．若△COE的面积与△DOB的面积相等，则k的值是．【答案】2．【解析】如答图，过点D作DF
⊥y轴于点F，则由CE⊥x轴于点E可知：S△OCE＝k，S△ODF＝2k．∵△COE的面积与△DOB的面积相等，∴S△OBD＝S△
FBD．易知A(2，0)，B(0，－1)，从而OB＝BF＝1，OF＝2．令D(m，－2)，则由D点在直线y＝x－1上，得－2＝m－
1，解得m＝－2，故D(－2，－2)，从而2k＝(－2)×(－2)，解得k＝2．6file:///G:\2018中考解析\中考数学
（解析版）\分类汇编\cm.(2019·宁波)如图,过原点的直线与反比例函数(k>0)的图象交于A,B两点,点A在第一象限,点C
在x轴正半轴上,连接AC交反比例函数图象于点D.AE为∠BAC的平分线,过点B作AE的垂线,垂足为E,连接DE,若AC＝3DC,△
ADE的面积为8,则k的值为________.【答案】6【解析】连接OE,在Rt△ABE中,点O是AB的中点,∴OE＝＝OA,∴∠
OAE＝∠OEA,∵AE为∠BAC的平分线,∴∠OAE＝∠DAE,∴∠OEA＝∠DAE,∴AD∥OE,∴S△ADE＝S△ADO,过
点A作AM⊥x轴于点M,过点D作DN⊥x轴于点N,易得S梯AMND＝S△ADO,∵△CAM∽△CDN,CD:CA＝1:3,∴S△C
AM＝9,延长CA交y轴于点P,易得△CAM∽△CPO,可知DC＝AP,∴CM:MO＝CA:AP＝3:1,∴S△CAM:S△AMO
＝3:1,∴S△AMO＝3,∵反比例函数图象在一,三象限,∴k＝6.7.（2019·衢州）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原
点，口ABCD的边AB在x轴上，顶点D在y轴的正半轴上，点C在第一象限，将△AOD沿y轴翻折，使点A落在x轴上的点E处，点B恰好为
OE的中点，DE与BC交于点F.若y=（k≠0）图象经过点C.且S△BEF=1，则k的值为.【答案】24【解析】连接OC，作FM
⊥AB于M，延长MF交CD于N，设BE=a，FM=b，由题意知OB=BE=a，OA=2a，DC=3a,因为四这形ABCD为平行四
边形，所以DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以BE：CD=EF:DF=1:3，所以NF=3b，OD=FM+FN=4b，因为S△
BEF=1，即ab=1，S△CDO=CD·OD=3a×4b=6ab=12，所以k=xy=2S△CDO=24.三、解答题19．（20
19·嘉兴）如图，在直角坐标系中，已知点B（4，0），等边三角形OAB的顶点A在反比例函数y＝的图象上．（1）求反比例函数的表达式
．（2）把△OAB向右平移a个单位长度，对应得到△O''A''B''当这个函数图象经过△O''A''B''一边的中点时，求a的值．【解题过程】
（1）如图1，过点A作AC⊥OB于点C，∵△OAB是等边三角形，∴∠AOB=60°，OC=OB，∵B（4,0），∴OB=OA=4∴
OC=2，AC=.把点（2，）的坐标代入，得，∴.（2）（I）如图2，点D是AB的中点，过点D作DE⊥轴于点E，由题意得=4，=6
0°，在Rt△中，=2，DE=，=1，∴=3．把代入，得．∴OE=4，∴=1．（II）如图3，点F是的中点，过点F作FH⊥轴于点H
．由题意得=4，∠=60°，在RT△中，FH=，=1．把y=代入，得=4，∴OH=4，∴=3.综上所述，得的值为1或3.20．（2
019浙江省杭州市，20，10分）(本题满分10分)方方驾驶小汽车匀速地从A地行驶到B地，行驶里程为480千米，设小汽车的行驶时间
为t(单位:小时)，行驶速股为v(单位:千米/小时)，且全程速度限定为不超过120千米/小时.求v关于t的函数表达式.(2)方方上
午8点驾驶小汽车从A地出发.①方方需在当天12点48分至14点(含12点48分和14点)间到达B地.求小汽车行驶速度v的范围.②方
方能否在当天11点30分前到达B地?说明理由.【解题过程】（1）∵vt=480，且全程速度限定为不超过120千米/小时，∴v关
于t的函数表达式为：v=（0≤t≤4）；（2）①8点至12点48分时间长为小时，8点至14点时间长为6小时，将t=6代入v=得v
=80；将t=代入v=得v=100．∴小汽车行驶速度v的范围为：80≤v≤100．②方方不能在当天11点30分前到达B地．理由
如下：8点至11点30分时间长为小时，将t=代入v=得v=＞120千米/小时，超速了．故方方不能在当天11点30分前到达B地．25
．（2019·苏州，25，8）如图，A为反比例函数y=(其中k>0)图像上的一点，在上轴正半轴上有一点B，OB=4连接OA，AB．
且OA=AB=2．（1）求K的值；（2）过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=(其中k>0)的图像于点C，连接OC交AB于点
D，求的值．第25题图【解题过程】解：（1）过点A作AE⊥OB于E．∵OA=AB=2，OB=4，∴OE=BE=OB=2，
在Rt△OAE中，AE=，∴点A坐标为(2，6)，∵点A是反比倒函数图像上的点，∴6=，解得k=12．第25题答图(2)记A
E与OC的交点为F．∵OB=4且BC⊥OB，点C的横坐标为4，又∵点C为反比例函数y=图像上的点，∴点C的坐标为(4，3)，∴BC
=3.设直线OC的表达式y=mx，将C(4，3)代入可得m=，∴直线OC的表达式y=x，∵AE⊥OB，OE=2，∴点F的横坐标为
2．将x=2代入y=x可得y=，即EF=；∴AF=AE-EF=6-=.∵AE，BC都与x轴垂直，∴AE∥BC，∴△ADF∽△B
DC．∴．21．（2019山东威海，21，8分）（1）阅读理解如图，点A，B在反比例函数的图象上，连接AB，取线段AB的中点C，分
别过点A，C，B作x轴的垂线，垂足为E，F，G，CF交反比例函数的图象于点D，点E，F，G的横坐标分别为n-1，n，n＋1（n＞1
）.小红通过观察反比例的图象，并运用几何知识得到结论：AE＋BG＝2CF，CF＞DF.由此得出一个关于之间数量关系的命题：若n＞1
，则（2）证明命题小东认为：可以通过“若≥0，则≥”的思路证明上述命题.小晴认为：可以通过“若＞0，＞0，且≥1，则≥”的思路证明
上述命题.请你选择一种方法证明（1）中的命题.【解题过程】（1）∵A，D，B都在反比例的图象上，且点E，F，G的横坐标分别为n-1
，n，n＋1（n＞1），∴AE＝BG＝DF＝.又∵AE＋BG＝2CF，∴CF＝又∵CF＞DF，n＞1，∴＞，即＞.故答案为＞.（2
）选择选择小东的思路证明结论＞，∵n＞1，∴＞0，∴＞.（2019江苏盐城卷，19，8）如图，一次函数y=x+1的图像交y轴于点
A，与反比例函数（x>0）图像交于点B（m，2）.求反比例函数的表达式.求△AOB的面积.【思路分析】（1）根据已知条件，可
以求出点A的坐标，在根据一次函数与反比例函数交于点B，就可以求出点B点的横坐标m，则点B的坐标就有了，所以就可以求出反比例函数的表
达式。（2）根据第一问求出的点B的坐标，过点B作BC⊥y轴，则BC就是△AOB的高，OA的长度就是点A的纵坐标，则△AOB的高和底
都有了，就可以求出△AOB的面积.【解题过程】解：（1）∵一次函数经过点B,∴2=m+1解得m=1，则点B的坐标为（1,2）又∵点
B过y=.解得k=2，即反比例函数为y=.（2）∵点A（0,1）∴OA=1,过点B作BC⊥y轴，垂足为点C,则BC就是△A
OB的高，BC=1，∴S△AOB=OA×BC=×1×1=.20．（2019·常德）如图4，一次函数y=－x+3的图像与反比例函数
y=（k≠0）在第一象限的图像交于A（1，a）和B两点，与x轴交于点C．（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P在x轴上，且△AP
C的面积为5，求点P的坐标．【解题过程】（1）∵A（1，a）在y=－x+3上，∴a=－1+3=2，把A（1，2）代入到y=中，得k
=2，∴反比例函数解析式为y=；（2）∵P在x轴上，∴设P（m，0），∵＝PC·a，∴5＝·PC·2，∴PC＝5，∵y=－x+3
中当y=0时x=3，∴C（3，0），∴m－3＝5或3－m＝5，即m＝8或－2，∴点P的坐标为（8，0）或（－2，0）24．（201
9·株洲）如图所示，在平面直角坐标系xOy中，等腰△OAB的边OB与反比例函数的图像相交于点C，其中OB＝AB，点A在x轴的正半轴
上，点B的坐标为(2，4)，过点C作CH⊥x轴于点H．（1）己知一次函数的图像过点O，B，求该一次函数的表达式；（2）若点P是线段
AB上的一点，满足OC＝AP，过点P作PQ⊥x轴于点Q，连结OP，记△OPQ的面积为S△OPQ，设AQ＝t，T＝OH2﹣S△OPQ
．①用t表示T（不需要写出t的取值范围）；②当T取最小值时，求m的值．、【解题过程】解：（1）设直线OB解析式为：y=kx+b,将
O(0，0)B（4,2）代入得，∴yOB=2x（2）①如图，作BM⊥x轴于M，∵BO=AB,∴OM=MQ=2，A(4，0）∵CH∥
BM∥PQ，∴△OCH∽△APQ∽OBM∴,，所以PQ=2AQ=2t,AP=,∴T＝OH2﹣S△OPQ==4t2-4t②∵T=4t
2-4t,∴t=0.5时，T最小=-1，此时OH=t=,CH=2OH=,∴m=OH=25．（2019·陇南）如图，已知反比例函数y
＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（
2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y＝﹣x+b的图象于点M，交反比例函数y＝上的图
象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．解：（1）∵反比例函数y＝（k≠0）的图象与一次函数y＝﹣x+b的图
象在第一象限交于点A（1，3），∴3＝，3＝﹣1+b，∴k＝3，b＝4，∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y＝，y＝﹣x+4；（
2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN．1.（2019·金华）如图，在平面直角坐标系中，正六边形ABCDEF的对称中心P在反
比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图像上，边CD在x轴上，点B在y轴上，已知CD＝2．（1）点A是否在该反比例函数的图像上？请说明理
由．（2）若该反比例函数图像与DE交于点Q，求点Q的横坐标．（3）平移正六边形ABCDEF，使其一边的两个端点恰好都落在该反比例函
数的图像上，试描述平移过程．解：（1）连结PC，过点P作PH⊥x轴于点H，∵在正六边形ABCDEF中，点B在y轴上，∴△OBD和△
PCH都含有30°角的直角三角形，BC＝PC＝CD＝2．∴OC＝CH＝1，PH＝．∴点P的坐标为（2，）∴k＝2．∴反比例函数的表
达式为y＝（x＞0）．连结AC，过点B作BG⊥AC于点G，∵∠ABC＝120°，AB＝BC＝2，∴BG＝1，AG＝CG＝．∴点A的
坐标为（1，2）．当x＝1时，y＝2，所以点A该反比例函数的图像上．（2）过点Q作QM⊥x轴于点M，∵六边形ABCDEF是正六边形
，∴∠EDM＝60°．设DM＝b，则QM＝b．∴点Q的坐标为（b＋3，b）．∴b（b＋3）＝2．解得b1＝，b2＝（舍去）∴b＋3
＝．∴点Q的横坐标为．（3）连结AP．∵AP＝BC＝EF，AP∥BC∥EF，∴平移过程：将正六边形ABCDEF先向右平移1个单位，
再向上平移个单位，或将正六边形ABCDEF向左平移2个单位．【知识点】反比例函数的表达式；正六边形的性质；图形的平移；含有30°角
的直角三角形性质2.（2019四川省自贡市，23，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y1=kx+b(k≠0)的图象与反比
例函数y2=(m≠0)的图象相交于第一、三象限内的A（3，5），B（a,-3）两点，与x轴交于点C.（1）求该反比例函数和一次函数
的解析式；（2）在y轴上找一点P使PB-PC最大，求PB-PC的最大值及点P的坐标；（3）直接写出当y1＞y2时，x的取值范围.【
思路分析】（1）将A点坐标代入反比例函数解析式求出m，即可得到反比例函数解析式；把y=-3代入反比例函数解析式求出a的值，得到B点
坐标，再将A，B坐标代入一次函数解析式求出k，b，即可求出一次函数解析式；（2）利用A、B坐标求出直线AB解析式，由解析式求出C、
D两点坐标；分别对B、C、P三点是否共线进行讨论，得出PB-PC≤BC；从而当P与D重合时，PB-PC最大，最大值为BC.【解题过
程】解：（1）A（3,5）代入y2=得，5=，∴m=15.∴反比例函数是y2=.当y2=-3时，-3=，∴x=-5，∴B坐标为（-
5，-3）.将A（3,5），B（-5，-3）代入y1=kx+b得，解得，.∴一次函数为y1=x+2.令y1=0时，x+2=0,x
=-2.∴点C坐标为（-2,0）.令x=0，则y1=2.∴点D坐标为（0，-2）.连接PB，PC，当B，C和P不共线时，由三角形
三边关系，PBPC＜BC；当B，C和P共线时，PBPC=BC，∴PBPC≤BC.由勾股定理可知，BC==.∴当P与D重合，即P为
（0,2）时，PB-PC取最大值，最大值为.【知识点】待定系数法求一次函数、反比例函数解析式，三角形三边关系，勾股定理.3.（2
019四川攀枝花，20，8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝的图象在第二象限交于点B，
与x轴交于点C，点A在y轴上，满足条件：CA⊥CB，且CA＝CB，点C的坐标为（－3，0），cos∠ACO＝．（1）求反比例函数
的表达式；（2）直接写出当x＜0时，kx＋b＜的解集。【思路分析】(1)要求反比例函数的表达式，需要求得点B的坐标．作BH⊥x轴
于点H，由点C的坐标为（－3，0），cos∠ACO＝，得AC＝3,AO＝6．由△BHC≌△COA得BH＝3，CH＝6．∴B(－
9,3)．（2）由图象法直接得出.【解题过程】解：（1）如图作BH⊥x轴于点H,则∠BHC＝∠BCA＝∠COA＝90°,∴
∠BCH＝∠CAO,∵点C的坐标为(－3,0)∴OC＝3,∵cos∠ACO＝,∴AC＝3,AO＝6,在△BHC和△COA中
有∴△BHC≌△COA．∴BH＝CO＝3，CH＝AO＝6．∴OH＝9，即B(－9,3)．∴m＝－9×3＝－27∴反比例函数解析
式为y＝－（2）因为在第二象限中，B点右侧一次函数的图象在反比例函数图象的下方所以当x＜0时，kx＋b＜的解集为－9＜x＜0.【知
识点】锐角三角函数；反比例函数解析式；全等三角形的判定与性质；一次函数解析式；图象法求不等式的解集4.(2019山东泰安,21题
,11分)已知一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数的图象交于点A,与x轴交于点B(5,0),若OB＝AB,且S△OAB＝.(1)
求反比例函数与一次函数的表达式;(2)若点P为x轴上一点,△ABP是等腰三角形,求点P的坐标.【思路分析】(1)根据OB的长度和△
AOB的面积可求得点A的纵坐标,利用勾股定理求得点A的横坐标,进而用待定系数法可以求出反比例函数和一次函数的表达式;(2)设点P的
坐标为(x,0),利用等腰三角形的边相等的关系,列出方程,进行求解,即可得到点P的坐标.【解题过程】(1)过点A作AM⊥x轴于点M
,则S△OAB＝＝,∵B(5,0),∴OB＝5,即＝,AM＝3,∵OB＝AB,∴AB＝5,在Rt△ABM中,BM＝＝4,∴OM＝O
B+BM＝9,∴A(9,3),∵点A在反比例函数图象上,∴,m＝27,反比例函数的表达式为:,设一次函数表达式为y＝kx+b,∵点
A(9,3),B(5,0)在直线上,∴3＝9k+b,0＝5k+b,解之,得k＝,b＝,∴一次函数的表达式为:y＝x;(2)设点P(
x,0),∵A(9,3),B(5,0),∴AB2＝(9－5)2+32＝25,AP2＝(9－x)2+32＝x2－18x+90,BP2
＝(5－x)2＝x2－10x+25,根据等腰三角形的两边相等,分类讨论:①令AB2＝AP2,得25＝x2－18x+90,解之,得:
x1＝5,x2＝13,当x＝5时,点P与点B重合,故舍去,P1(13,0);②令AB2＝BP2,得25＝x2－10x+25,解之,
得:x3＝0,x4＝10,当x＝0时,点P与原点重合,故P2(0,0),P3(10,0);③令AP2＝BP2,得x2－18x+90
＝x2－10x+25,解之,得:x＝,∴P4(,0);综上所述,使△ABP是等腰三角形的点P的坐标为:P1(13,0),P2(0,0),P3(10,0),P4(,0).【知识点】勾股定理,待定系数法求解析式,等腰三角形的存在性5.(2019山东聊城,23,8分)如图,点A(,4),B(3,m)是直线AB与反比例函数(x>0)图象的两个交点,AC⊥x轴,垂足为点C,已知D(0,1),连接AD,BD,BC.(1)求直线AB的表达式;(2)△ABC和△ABD的面积分别为S1,S2,求S2－S1.【思路分析】(1)先用点A坐标求出反比例函数表达式,然后求出点B坐标,再用待定系数法求得AB的表达式;(2)利用坐标,分别算出两个三角形的面积,进而求得二者之差.【解题过程】(1)由点A,B在反比例函数的图象上,∴4＝,∴n＝6,∴反比例函数表达式为(x>0),将点B(3,m)代入,得m＝2,∴B(3,2),设直线AB的表达式为y＝kx+b,∴,解得:,∴直线AB的表达式为:.(2)由点A,B的坐标得AC＝4,点B到AC的距离为3－＝,∴S1＝×4×＝3,设AB与y轴的交点为E,可得E(0,6),∴DE＝6－1＝5,由点A(,4),B(3,2)知点A,B到ED的距离分别为,3,∴S2＝S△BED－S△AED＝,∴S2－S1＝.【知识点】待定系数法求反比例函数,一次函数解析式,三角形面积6file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\分类汇编\cm.（2019湖南省岳阳市，19，8分）如图，双曲线经过点P（2，1），且与直线y=kx－4（k＜0）有两个不同的交点．（1）求m的值；（2）求k的取值范围．【思路分析】（1）把点P的坐标代入反比例函数解析式可求出m；（2）联立两个函数关系式，得到一个关于x的一元二次方程，根据有两个不同的交点，令Δ＞0即可求出k的取值范围．【解题过程】（1）把点P（2，1）代入反比例函数，得：，m=2；（2）由（1）可知反比例函数解析式为，∴，整理得：，∵双曲线与直线有两个不同的交点，∴△＞0．即：．解得：k＞－2．又∵k＜0，∴k的取值范围为－2＜k＜0．更多干货资料敬请关注微信公众号：CZSXYZ2018初中数学压轴时代博雅解析时代博雅解析 |
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