知识点26等腰三角形与等边三角形一、选择题12．（2019·烟台）如图，AB是的直径，直线DE与相切于点C，过点A，B分别作，，垂足为点
D，E，连接AC，BC．若，，则的长为（）．A．B．C．D．第12题答图【答案】D【解题过程】连接OC，因为，，
所以所以因为AB是的直径，所以，所以，所以，在△ADC与△CED,因为，所以△ADC∽△CED,所以在Rt△ACB中，，所
以，又因为，所以△AOC是等边三角形，所以，因为直线DE与相切于点C，所以，因为，，所以AD//OC，所以，所以，所以，所以△A
OC是等边三角形，所以，，所以的长为．8．（2019·娄底）如图（2），边长为的等边△ABC的内切圆的半径为（）1B．
C．2D．【答案】A【解析】由等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，则在直角三角形OCD中，从而解得．
如图（2－1），设D为⊙O与AC的切点，连接OA和OD，∵等边三角形的内心即为中线，底边高，角平分线的交点，∴OD⊥AC，∠OA
D＝30°，OD即为圆的半径．又∵，∴∴在直角三角形OAD中，，代入解得：OD＝1．故答案为1．1.（2019·潍坊）如图已知∠
AOB，按照以下步骤作图：①以点O为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交∠AOB的两边于C，D两点，连接CD．②分别以点C，D为圆心
，以大于线段OC的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点E，连接CE，DE．③连接OE交CD于点M．下列结论中错误的是（）A．∠CE
O=∠DEOB．CM=MDC．∠OCD=∠ECDD．S四边形OCED=CD·OE【答案】C【解析】由作图可知OC=OD，CE＝
DE，OE＝OE，所以△OCE≌ODE，∴∠CEO=∠DEO，选项A正确，根据“三线合一”可知，CM=MD，CD⊥OE，所以选项B
、D正确；选项C错误；故选C.2.（2019·衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪
”能三等分任一角。这个三等分角仪由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动。C点固定，OC=CD=DE，点D，E可
在槽中滑动，若∠BDE=75°，则∠CDE的度数是A.60°B.65°C.75°D.80°【答案】D【解析】本题考查等腰三角形及三
角形外角的性质，因为OC=CD=DE，所以∠O=∠CDO,∠DCE=∠CED.所以∠DCE=2∠O，∠EDB=3∠O=75°,所以
∠O=25°,∠CED=∠ECD=50°,所以∠CDE=180°-∠CED-∠ECD=180°-50°-50°=80°，故选D.3
.（2019·重庆A卷）如图，在△ABC中，D是AC边上的中点，连结BD，把△BDC′沿BD翻折，得到△，与AB交于点E，连结，若
AD＝＝2，BD＝3，则点D到的距离为（）A．B．C．D．第12题图【答案】B【解析】如答图，过点D作DM⊥于点M，过点B作
BN⊥于点N，由翻折可知＝DC＝AD＝2，∠BDC＝∠B．∵AD＝＝2，∴△是等边三角形，从而∠＝∠B＝∠BDC＝60°．在Rt△
BDN中，DN＝BD＝，BN＝，从而＝．于是，＝＝．∵＝，∴DM＝＝＝．故选B．4.(2019·聊城)如图在等腰直角三角形ABC中
,∠BAC＝90°,一个三角尺的直角顶点与BC边的中点O重合,且两条直角边分别经过点A和点B,将三角尺绕点O按顺时针方向旋转任意一
个锐角,当三角尺的两直角边与AB,AC分别交于点E,F时,下列结论中错误的是A.AE+AF＝ACB.∠BEO+∠OFC＝180°C
.OE+OF＝BCD.S四边形AEOF＝S△ABC【答案】C【解析】连接AO,易得△AEO≌△CFO,∴AE+AF＝CF+AF＝A
C,故A正确；∠BEO+∠OFC＝∠BEO+∠AEO＝180°,故B正确；随着三角形的转动,OE和OF的长度会变化,故C错误；S四
边形AEOF＝S△AEO+S△AFO＝S△CFO+S△AFO＝S△ABC,故D正确；故选C.5.6file:///G:\2018中
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类汇编，合作共赢！组织者：仓猛.10.二、填空题14．（2019·绍兴）如图，在直线AP上方有一个正方形ABCD，∠PAD=30
°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，分别以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，两弧交于点E，连结ED，则∠ADE的
度数为.【答案】15°或45°【解析】因为∠PAD＝30°，以点B为圆心，AB为半径作弧，与AP交于点A,M，而∠BAM＝6
0°，所以△BAM是等边三角形；又以点A,M为圆心，AM长为半径作弧，交点有两个E或B有两种情况：①由题意△AME是等边三角形，所
以∠EAM＝60°，所以∠DAE＝30°+120°＝150°，又AD＝AM＝AE，所以∠ADE＝∠AED＝（180°－150°）＝
15°；②点E与B重合，所以∠ADB（E）＝45°.14．（2019·常德）如图，△ABC是等腰三角形，AB＝AC，∠BAC＝45
°，点D在AC边上，将△ABD绕点A逆时针旋转45°得到△ACD′，且点D′、D、B三点在同一直线上，则∠ABD的度数是．【答案】
22.5°【解析】根据题意可知△ABD≌△ACD′，∴∠BAC＝∠CAD′＝45°，AD′＝AD，∴∠ADD′＝∠AD′D＝＝67
.5°，∵D′、D、B三点在同一直线上，∴∠ABD＝∠ADD′－∠BAC＝22.5°．1.（2019·怀化）若等腰三角形的一个底角
为72°，则这个等腰三角形的顶角为________.【答案】36°.【解析】解：∵等腰三角形的一个底角为72°，∴这个等腰三角形的
顶角为180°-72°×2=36°.故答案为36°.2.3.4.5.6file:///G:\2018中考解析\中考数学（解析版）\
分类汇编\cm.7.8.三、解答题19.（2019浙江省杭州市，19，8分）(本题满分8分)如图在△ABC中，AC＜AB＜BC.(
1)已知线段AB的垂直平分线与BC边交于点P，连接AP，求证:∠APC=2∠B.(2)以点B为圆心，线段AB的长为半径画弧，与B
C边交于点Q，连接AQ.若∠AQC=3∠B，求∠B的度数.（第19题(2)）（第19题(1)）【解题过程】（1）证明：∵线段AB
的垂直平分线与BC边交于点P，∴PA=PB，∴∠B=∠BAP，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠APC=2∠B；（2）根据题意可知B
A=BQ，∴∠BAQ=∠BQA，∵∠AQC=3∠B，∠AQC=∠B+∠BAQ，∴∠BQA=2∠B，∵∠BAQ+∠BQA+∠B=18
0°，∴5∠B=180°，∴∠B=36°．25．（2019江苏盐城卷，25，10）如图①是一张矩形纸片，按以下步骤进行操作：（I）
将矩形纸片沿DF折叠，使点A落在CD边上点E处，如图②；（II）在第一次折叠的基础上，过点C再次折叠，使得点B落在边CD上点B、处
，如图③，两次折痕交于点O；（III）展开纸片，分别连接OB、OE、OC、FD，如图④【探究】（1）证明：△OBC≌△OED；（
2）若AB=8，设BC为x，OB2为y，求y关于x的关系式.图①图②图③图④【解题过程】解：（1
）由折叠可知BC=AD=AF=DE，∴CB=CB、，由两次折叠可知∠BCO=∠DCO=∠ODE=45O，∴△OCD是等腰直角
三角形，OC=OD∴△OBC≌△OED（2）如图，过O向BC做ON⊥BC于N，则△OCN是等腰直角三角形，又△OCD是等腰直角三
角形，OC=OD，∴CD=8，OC=,ON=CN=4，在直角三角形BON中，OB2=BN2+ON2∴=（49·株洲）四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，线段AB是⊙O的直径，连结AC、BD．点H是线段BD上的一点，连结AH、CH，且∠A
CH＝∠CBD，AD＝CH，BA的延长线与CD的延长线相交于点P．（1）求证：四边形ADCH是平行四边形；（2）若AC＝BC，PB
＝PD，AB＋CD＝2(＋1)．①求证：△DHC为等腰直角三角形；②求CH的长度．【解题过程】(1)∵∠CBD=∠CAD,∠ACH
＝∠CBD，∴∠CAD=∠ACH，∴CH∥AD，∵AD＝CH，∴四边形ADCH是平行四边形（2）①∵AB是直径，∴∠ADB=∠AC
B=90°，∵CH∥AD，∴∠CHD=∠ADB=90°，∵AC＝BC，∴∠CAB=45°，∴∠CDB=∠CAB=45°，∴△DHC
为等腰直角三角形②∵四边形ABCD是⊙O的圆内接四边形，∴∠PDA=∠PBC，∵∠P=∠P，∴△PDA∽△PBC，∴,∵△DHC和
△ABC为等腰直角三角形，∴AB=,CD=,∴∵AB＋CD＝2(＋1)∴CD+CD=2(＋1)∴CD=2，∴CH=26．（2019
·常德）在等腰三角形△ABC中，AB＝AC，作CM⊥AB交AB于点M，BN⊥AC交AC于点N．（1）在图12中，求证：△BMC≌△
CNB；（2）在图13中的线段CB上取一动点P，过P作PE∥AB交CM于点E，作PF∥AC交NB于点F，求证：PE+PF＝BM；（
3）在图14中动点P在线段CB的延长线上，类似（2）过P作PE∥AB交CM的延长线于点E，作PF∥AC交NB的延长线于点F，求证：
AM·PF+OM·BN＝AM·PE．【解题过程】（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵CM⊥AB，BN⊥AC，∴∠BMC＝∠
CNB＝90°，又∵BC＝BC，∴△BMC≌△CNB；（2）连接OP，∵PE∥AB，PF∥AC，∴∠BMC＝∠PEC＝90°，∠C
NB＝∠PFB＝90°，∵＝＋，∴OC·BM＝OB·PF＋OC·PE．∵△BMC≌△CNB，∴∠OBC＝∠OCB，∴OB＝OC，∴
PE+PF＝BM；（3）同上连接OP，∵＝－，∴OC·BM＝OC·PE－OB·PF，∵OB＝OC，∴PE－PF＝BM．∵∠BMC＝
∠ANB＝90°，∠BMO＝∠NBA，△BOM∽△BAN，∴，∴OM·BN＝BM·AN＝（PE－PF）·AN，∵AB＝AC，BM＝
CN，∴AM＝AN，∴OM·BN＝＝（PE－PF）·AM，∴AM·PF+OM·BN＝AM·PE．1.（2019·重庆A卷）如图，在
△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，连结AD，BE平分∠ABC交AC于点E，过点E作EF∥BC交AB于点F．（1）若∠C＝
36°，求∠BAD的度数；（2）求证：FB＝FE．第20题图解：（1）∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝36°．∴∠BAC＝180°－∠
B－∠C＝108°．∵AB＝AC，D是BC边上的中点，∴AD平分∠BAC．∴∠BAD＝∠BAC＝54°．（2）证明：∵BE平分∠A
BC，∴∠ABE＝∠CBE．∵EF∥BC，∴∠FEB＝∠CBE．∴∠ABE＝∠FEB．∴FB＝FE．2.（2019·重庆B卷）如图
，在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D．若∠C=42°，求∠BAD的度数；若点E在边AB上，EF∥AC交AD的延长线于点F．
求证：AE=FE解：（1）（方法一）：∵AB=AC，∠C=42°，∴∠B=∠C=42°，∴∠BAC=180°－∠B－∠C=180°
－42°－42°=96°∵AD⊥BC∴∠BAD=∠BAC=×96°=48°（方法二）：∵AB=AC∠C=42°∴∠B=∠C=42°
∵AD⊥BC于点D∴∠ADB=90°∴∠BAD=180°－90°－42°=48°（2）证明：∵EF∥AC∴∠CAF=∠F∵AB=A
C，AD⊥BC∴∠CAF=∠BAF∴∠F=∠BAF∴AE=FE3.（2019·眉山）如图，在四边形ABCD中AB∥DC，点E是CD
的中点，AE=BE．求证：∠D=∠C．证明：∵AE=BE，∴∠EAB=∠EBA，∵DC∥AB，∴∠DEA=∠EAB，∠CEB=∠E
BA，∴∠DEA=∠CEB，在△EDA和△CEB中，，∴△EDA≌△CEB（SAS），∴∠D=∠C.4.（2019·无锡）如图，在
△ABC中，AB=AC,点D、E分别在AB、AC上，BD=CE，BE、CD相交于点O；求证：（1）△DBC≌△ECB;（2）.证明
：（1）∵AB=AC，∴∠ECB=∠DBC，在△DBC与△ECB中，BD=CE，∠DBC=∠ECB，BC=CB，∴△DB
C≌△ECB（SAS）；(2)由(1)知△DBC≌△ECB，∴∠DCB=∠EBC，∴OB=OC.5.6file:///G:\20
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