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由《挑战高考数学压轴题》的作者尹德好老师友情提供。独家名师讲义,比你请家教强多了。 高考数学：名师讲义——助你冲刺数学130+ 第2期 回避有方、分类有法-----分类讨论问题解决策略 分类讨论思想是中学数学最重要的思想方法之一，也是每年高考必考的重点，如何有效地解决分类讨论问题呢？可采用“回避有方、分类有法”策略。 对于看似复杂的“分类讨论”问题，若能回避讨论，则可用一定的方法回避讨论，即“回避有方”。对于不能回避的讨论问题，要选择一个适当的角度分类讨论，应用分类讨论思想解决问题必须保证分类科学，标准统一，做到不重复，不遗漏，并力求最简，即“分类有法”。 一. 回避讨论的技术 1.整体思维、回避讨论 例1.（理）（2014上海理）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，AB是一条侧棱，Pi(i 1,2,...,8)是上底面上其余的八个点，则 AB APi(i 1,2,...,8)的不同值的个数为（ ） （A）1 (B)2 (C)4 (D)8 分析：求AB APi(i 1,2,...,8)如果分类算8种情况，显然不是合理思维，故可以整体思维来回避讨论。 解： AB APi AB APicos i APicos i，即AB APi等于APi在AB上的射影。而APi在AB上的射影相等，所以AB APi(i 1,2,...,8)的值相等。所以选A 2.挖掘信息 回避讨论 (x a)2,x 0, 例2.（2014年上海18）已知函数f(x) 若f(0)是f(x)的最小值，1 x a,x 0, x 则a的取值范围为（ ）。(A)[-1,2] (B)[-1，0] (C)[1，2] (D)[0，2] 分析：函数解析式是分类给出的，当然要a分类讨论，但注意到题目给出“f(0)是f(x)的最小值”可知α 0，就回避了讨论。 解：因f x x a ,x 0是单调递减的。f x x a 2 a,x 0是单调递增的，且f 0 a2
2 a，解得0 a 2。选D. 例3.判断函数f 由《挑战高考数学压轴题》的作者尹德好老师友情提供。独家名师讲义,比你请家教强多了。 分析：很多同学看到x 2x 1,1 ， 于是x 2 0，就可以避免讨论。 解：由x 1,1 ，于是x 2 0，所以 f x x 1,0 0,1 为奇函数。 3.巧用性质、回避讨论 例4. 2,2 上的偶函数f x 在 0,2 为减函数，若f 1 m f m ，求m的取值范围。 分析： 本题因为函数单调区间有2个，对于1 m,m可分为3个区域讨论。也可以 利用偶函数的性质得：f x f x ，即f m f 1 1 m m，注意函数的定义域得：m 1, 。 2 ，因f x 在 0,2 为减函数，得 4.变量分离，回避讨论 例5、设函数f x ax2 2x 2对于满足1 x 4的一切x值，都有f x 0,求实数a的取值范围。 分析：看到本题后多数同学自然想到对二次项系数a分a 0,a 0,a 0三种情况讨论，工作量太大， 其实再仔细分析一下 高考数学：名师讲义第2期 分类有方、回避有技-----分类讨论问题解决策略_文库下载https://www./doc/2b8ee188f90f76c661371ad3-2.html ，发现以上解法把简单问题复杂化了，求参数a的取值范围，自然应该想到分离参数a，则可完全避免讨论。 11 f x ax2 2x 2 0,即ax2 2x 2，由x2 1,16 可得a 2 2 ， xx 即a 2 1 x1 11 a ，于是。 x2 max22 5.整体转化，回避讨论 例6.已知函数f(x) x2 x，是否存在实数m,n m n 使得函数f(x)的定义域、值 域分别是 m,n 和 2m,2n ？若存在，求出m,n的值；若不存在，说明理由。 分析：因定义与何值域都是动态区间，所以可以考虑讨论f(x)在 m,n 是增函数、减 函数、先增后减三种情况讨论。 但如果如果从整体考虑，将定义域扩大到R，就可居高临下，把握问题实质。 一方面f(x) 12 x 1 1在R上最大值为1，另一方面，若存在，f(x)在 m,n 上的2 1 1， m,n ,1 ，从而函数f(x)在 m,n 上为增函数。212 最大值为2n， 2n 1,即 n 高考数学：名师讲义第2期 分类有方、回避有技-----分类讨论问题解决策略_文库下载https://www./doc/2b8ee188f90f76c661371ad3-2.html
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