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邹生书——特征根法求二阶线性递推数列通项公式

2020-05-30  鼎新教育

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邹生书,男,1962年12月出生,本科学历,理学士学位,中学数学高级教师,黄石市高中数学骨干教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月,在《数学通讯》《数学通报》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等,二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。


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特征根法求二阶线性递推数列通项公式

湖北省阳新县高级中学    邹生书

求一阶线性递推数列的通项公式是一种基本题型,一直是高考的重点和热点,而求二阶线性递推数列的通项公式却是一个难点,一般很少考查,但前几年也一度成为高考的热点,不仅如此这类问题还悄然出现在普通高中课程标准实验教科书上。本文通过对课本一道习题的解法研究,从中提炼出求二阶线性递推数列通项公式的通法和一般性结论,希望本文能使读者对特征根法的来龙去脉以及所蕴涵的数学思想方法有一个比较全面而深刻的认识。

1、问题的提出

普通高中课程标准实验教科书人教版必修569页复习参考题组第6题如下:

分析 已知一阶递推式求数列通项公式这是我们所熟悉的问题,所用思想方法是:用一个待定系数构造等比数列将问题转化为求等比数列的通项问题。对于二阶递推式求通项问题,我们可采用方法类比,用两个待定系数将求二阶线性递推数列通项公式的问题,转化为求一阶线性递推数列通项公式的问题来处理。

3 我们知道,若给出了一个数列的前两项和数列的一个二阶线性递推式,那么由此我们可求出这个数列的各项,也就是说这个数列的每一项都是唯一确定的,因此数列的通项也是唯一确定的,故可把上述解法所得①②两式中的an,an-1当作未知数,联立成方程组解之得

点评 以上三种解法都是将二阶线性递推式,通过待定系数法转化一阶线性递推式,法1、法2是独立选用其中一个一阶线性递推式,再由一阶线性递推式求出数列的通项。法3是用联系的观点方程的思想,将两个一阶线性递推式联立成方程组,通过解方程组求出数列的通项公式。显然法3运算量小解法简单,用法3对一般的二阶线性递推数列的通项公式进行研究,可得如下一般性结论。

2、两个一般性结论

 求二阶线性递推数列的通项公式,既可用本文两个定理的结论直接求解,也可用证明定理所用的待定系数法和方程思想求解。

评注:本题解法由浙江省平阳中学洪一平老师提供

4、供选练习 

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