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模型 | 一线三等角模型全梳理(优选)

2020-05-30  鼎新教育

一线三等角定义:

     

    指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形,这个角可以是直角,也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼,通常称为“K字模型”,也有部分地方称为“M形图”。

起源与基本类型


DE绕A点旋转,从外到内,从一般位置到特殊位置。

基本类型:

同侧“一线三等角”

异侧“一线三等角”


性质


1.一般情况下,如下左图,易得△AEC∽△BDE.

2.当等角所对的边相等时,则两个三角形全等。(若CE=ED,则△AEC≌△BDE)

3.中点型“一线三等角”

如右上图,当∠1=∠2=∠3,且D是BC中点时,△BDE∽△CFD∽△DFE.

4.“一线三等角”的各种变式


应用


1.“一线三等角”应用的三种情况。

    a.图形中已经存在一线三等角,直接应用模型解题;

    b.图形中存在“一线二等角”,补上“一等角”构造模型解题;

    c.图形中只有直线上一个角,补上“二等角”构造模型解题.

2.在定边对定角问题中,构造一线三等角是基本手段。

3.构造一线三等角的步骤:找角定线构相似

如上图,线上有一特殊角,就考虑构造同侧型一线三等角,当然只加这两条线通常是不够的,为了利用这个特殊角与线段的关系,过C、D两点作直线l的垂线是必不可少的。


模型建立

例  如图2,已知E是矩形ABCD的边AB上一点, EF⊥DE交BC于点F,

试说明:ΔADE∽ΔBFE。

分析:要证明ΔADE与ΔBFE相似,已经知道∠A=∠B=90°,只需要再找出另外一对相等的角即可。

解答:在矩形ABCD中,∠A=∠B=90°

          ∵EF⊥DE

          ∴∠DEF=90°,∠2+∠3=90°

       又 ∵∠1+∠3=90°

          ∴∠1=∠2

         ∴ΔADE∽ΔBFE

小结:此时,在直线AB上,∠A=∠DEF=∠B=90°,一条线上有3个直角,

两边的ΔADE与ΔBFE相似。这个相似的基本图形像字母K,可以称为“K”型相似,但更因为图形的结构特征是一条线上有3个垂直关系,也常被称为“一线三垂直”。通过例题,我们已经证明,“一线三垂直”可以得出相似三角形,那普通的3个等角又会怎样呢?

变式1

         如图3,已知等边三角形ABC, 点D、E分别为BC,AC上的点,∠ADE=60º。

(1)  图中有相似三角形吗?如果有,请说明理由。

(2)  如图4,若将∠ADE在ΔABC的内部(∠ADE两边不与BC重合)绕点D逆时针旋转一定的角度,得到的两三角形仍相似吗?

分析:

(1)此时,在直线BC上,∠B=∠ADE=∠C=60°,一条线上有3个等角,两边的ΔABD与ΔDEC相似吗?

(2)旋转后,变化中的不变量是什么?ΔABD与ΔDEC相似吗?

解答:(1)在等边三角形ABC中,

          ∠B=∠C=60°

                   ∵∠ADE=60º

                   ∴∠2+∠3=120°

               又 ∵∠1+∠3=120°

                  ∴∠1=∠2

                  ∴ΔABD∽ΔDCE

       另外:ΔADE与ΔACD也相似。

              ∵∠DAE=∠CAD(公共角)

                ∠ADE=60º=∠DCA

              ∴ΔADE∽ΔACD

(2)旋转后,变化中的不变量是∠ADE的大小

那么,依然可以有:

∵∠2+∠3=120°

               又 ∵∠1+∠3=120°

                  ∴∠1=∠2

                  ∴ΔABD∽ΔDCE

小结:

  此时,一条线上的三个等角由90°变成了60°,两边的三角形依然相似。那么,更一般的等角呢?

变式2

如图5,隐藏变式1图形中的线段AE,在得到的新图形中,

(1)  如果∠B=∠C=∠ADE=50º,图中有相似三角形吗?

(2)如图6,若∠B=∠C=∠ADE=∠α,∠α为任意角,还有相似三角形吗? 

分析:等角由90°变为60°,三角形依然相似。再变为50º,任意角α,虽然等角的大小发生了变化,但等量关系没变。

解答:

(1)     ∵∠B=∠C=∠ADE=50º

                 ∴∠2+∠3=130°

                 又 ∵∠1+∠3=130°

                    ∴∠1=∠2

                    ∴ΔABD∽ΔDCE

(2)

∵∠B=∠C=∠ADE=α

    ∴∠2+∠3=180°-α

 又 ∵∠1+∠3=180°-α

    ∴∠1=∠2

    ∴ΔABD∽ΔDCE

小结:现在,我们已经从特殊角过渡到任意角,证明在一条线上,只要有3个等角,两边的三角形就一定相似。这个相似的基本模型就是“一线三等角”。

模型应用

        打开我们的新年礼包:

   已知,相邻两条平行直线间的距离相等,若等腰直角△ABC的三个项点分别在这三条平行直线上,则sinα的值是(     )

分析:观察这个图形, ∠α不是特殊角,要求sinα的值,首先要把角α放在一个直角三角形中,于是过点B作垂线,构造直角三角形ABF。又已知△ABC是等腰直角三角形,要用到∠ACB 为直角和AC=CB的特殊条件,及平行线之间的等距条件,所以分别过点A、B作垂线,构造“一线三等角”的相似基本图形。

解答:由“一线三等角”,得ΔACD∽ΔCBE

 由AC=AB,得ΔACD≌ΔCBE, 由平行线等距,可设平行线间的距离为d,

小结:在数学中,我们常通过模型来建立数量之间的关系或图形间的联系,本题中,通过建立“一线三等角”这种相似的基本模型可以巧妙的使问题得解。

初中数学“一线三等角”解析

一:总结定义:
两个相等的角一边在同一直线上,另一边在该直线的同侧或异测,第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点中所确定的线段上或线段的延长线上,另外两边分别位于一直线的同侧或异测与两等角两边相交,会形成一组相似三角形,习惯上把该组相似三角形习惯上称为“一线三等角型”相似三角形

二:常出现模型:
等腰三角形中底边作一角与底角相等;等腰梯形中上(下)底作一角与上(下)底角相等;矩形;正方形;矩形和正方形的翻折(简称:一线三直角);等边三角形的翻折;坐标系中的一线三直角包括已知相似比求点的坐标或直角三角形的讨论性问题


三:一线三等角构造图谱:


四:中点型一线三等角



五:一线三等角--中间三角形为等腰三角形或直角三角形的讨论性问题


(1)中间三角形为等腰三角形的讨论问题



如图,点P在线段MN上,∠M=∠N=∠EPF,联结EF,若△EFP为等腰三角形



分析:



(2)中间三角形为直角三角形的讨论问题



如图,点P在线段MN上,∠M=∠N=∠EPF,联结EF,若△EFP为直角三角形




分析:





教材试题


点评:


在本题几何计算的过程中,关键是推导△ABP与△PCD相似,对解题思路的分析,要重视利用图形的直观性,从线段CD联系到△PCD,再观察与△PCD可能相似的三角形,发现并抓住解决问题的关键。



一线三等角---等腰三角形

(2010奉贤一模23)如图,已知:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4, M是边AB的中点,E、G分别是边AC、BC上的一点,∠EMG=45°,AC与MG的延长线相交于点F,
(1)在不添加字母和线段的情况下写出图中一定相似的三角形,并证明其中的一对;
(2)联结结EG,当 AE=3时,求EG的长.


分析:





一线三等角-----等腰梯形

(2001上海中考25)
已知在梯形ABCD中,AD∥BC,AD<BC,且AD=5,AB=DC=2.
(1)如图,P为AD上的一点,满足∠BPC=∠A.
 ①求证;△ABP∽△DPC
②求AP的长.
(2)如果点P在AD边上移动(点P与点A、D不重合),且满足∠BPE=∠A,PE交直线BC于点E,同时交直线DC于点Q,那么
①当点Q在线段DC的延长线上时,设AP=x,CQ=y,求y关于x的函数解析式,并写出函数的定义域;
②当CE=1时,写出AP的长.


分析:




点评:




其中(1)可看作(2)的特例,故(2)的推断与证明均可借鉴(1)的思路.这是一种从模仿到创造的过程,模仿即借鉴、套用,创造即灵活变化,这是中学生学数学应具备的一种基本素质,世上的万事万物总有着千丝万缕的联系,也有着质的区别,模仿的关键是发现联系,创造的关键是发现区别,并找到应付新问题的途径。



一线三等角-----矩形

(2012长宁一模24)如图,在矩形ABCD中,AB=4,AD=6,点P是射线DA上的一个动点,将三角板的直角顶点重合于点P,三角板两直角中的一边始终经过点C,另一直角边交射线BA于点E.
(1)判断△EAP与△PDC一定相似吗?请证明你的结论;
(2)设PD=x,AE=y,求y与x的函数关系式,并写出它的定义域;
(3)是否存在这样的点P,使△EAP周长等于△PDC周长的2倍?若存在,请求出PD的长度;若不存在请简要说明理由.


分析:





一线三等角---正方形

(2009·嘉定区一模25)(1)在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点P、Q分别在射线CB、AC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=∠ABC.
①若点P在线段CB上(如图),且BP=6,求线段CQ的长;
②若BP=x,CQ=y,求y与x之间的函数关系式,并写出函数的定义域;
(2)正方形ABCD的边长为5(如图),点P、Q分别在直线CB、DC上(点P不与点C、点B重合),且保持∠APQ=90度.当CQ=1时,写出线段BP的长(不需要计算过程,请直接写出结果).


分析:




练习:



点评:


“一线三等角”在以正方形、矩形、等腰三角形、等腰梯形为背景的体现很明显,希望可以通过这一题组加以理解,学会灵活运用,解决问题。面对一个个数学问题,若能寻找并建立起它的基本模型,寻找出本质,复杂图形只是在原有简单图形上“添砖加瓦”,层层递进。需要我们把握住这个问题的本质所在,深层挖掘题目所涉及基本思想。



一线三等角---等边三角形翻折

(2016崇明一模18)如图,等边△ABC中,D是BC边上的一点,且BD:DC=1:3,把△ABC折叠,使点A落在BC边上的点D处.那么AM/AN的值为


分析:



变式
以压轴题形式展现


分析:




变式
转换叙述条件
以垂直平分线代替翻折

(2015长宁一模25)如图,已知△ABC是等边三角形,AB=4,D是AC边上一动点(不与A、C点重合),EF垂直平分BD,分别交AB、BC于点E、F,设CD=x,AE=y.
(1)求证:△AED∽△CDF;
(2)求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(3)过点D作DH⊥AB,垂足为点H,当EH=1时,求线段CD的长.


分析:



练习:





一线三等角---中点型

(2012闵行二模25)已知:如图,AB⊥BC,AD // BC, AB = 3,AD = 2.点P在线段AB上,联结PD,过点D作PD的垂线,与BC相交于点C.设线段AP的长为x.

(1)...........

(2)...........

(3)当△APD∽△DPC时,求线段BC的长.


分析:




分析:




练习:


在长方形ABCD中,AB=4,AD=3,点E是边AB上一点(不与点A、B重合),点F是边BC上一点(不与点B、C重合),若△DEF和△BEF是相似三角形,则CF=



一线三等角--中间三角形

中间三角形为等腰三角形


分析:



练习:



中间三角形为直角三角形

如图,在△ABC中,AB=AC=5,BC=6,P是BC上一点,且BP=2,将一个大小与∠B相等的角的顶点放在P 点,然后将这个角绕P点转动,使角的两边始终分别与AB、AC相交,交点为D、E。
(1)求证△BPD∽△CEP
(2)是否存在这样的位置,△PDE为直角三角形?若存在,求出BD的长;若不存在,说明理由




一线三等角--坐标系(1)

坐标系中三直角基本图形主要还是以下两种:


(2016·普陀区一模)已知A(3,2)是平面直角坐标中的一点,点B是x轴负半轴上一动点,联结AB,并以AB为边在x轴上方作矩形ABCD,且满足BC:AB=1:2,设点C的横坐标是a,如果用含a的代数式表示D点的坐标,那么D点的坐标是      

分析:




分析:



练习:





一线三等角--坐标系(2)


分析:




分析:




练习:


如图,在平面直角坐标系xOy中,二次函数的图象经过点A(﹣1,0),B(4,0),C(0,2),点D是点C关于原点的对称点,联结BD,点E是x轴上的一个动点,设点E的坐标为(m,0),过点E作x轴的垂线l交抛物线于点P.
(1)求这个二次函数的解析式;
(2)当点E在线段OB上运动时,直线l交BD于点Q,当四边形CDQP是平行四边形时,求m的值;
(3)是否存在点P,使△BDP是不以BD为斜边的直角三角形?如果存在请直接写出点P的坐标;如果不存在,请说明理由.



1、本文展示了相似模型“一线三等角”在初中范围内常见的几种考题形式,以上教版例题展开,拓展到模考题,中考题

2、从压轴题中的复杂图形提炼出基本图形、快速灵活运用基本结论、反思、拓展。通过知识间的串联,形成解题时的必要“口诀”,找出一些通性通法,提高解题效率

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