相似模型
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相似三角形判定的基本模型
平行线型：
A字型X字型A、X混合型
相交线型：
母子型双垂直（射影定理）旋转型
三垂直一线三等角
你能找到每个图中的相似三角形吗？
漫漫学
1平行线型（A字型和X字型及变形）
添加平行线构造相似
添构造相似三角形的基本图形。
【例1】
【练习1.】
图1图2图3图4
（2）当时，有（如图2）
（3）当时，有（如图3）
在图4中，当时，参照上述研究结论，
请你猜想用n表示的一般结论，并给出证明（其中n是正整数）．
添加垂线线构造相似
添构造相似三角形的基本图形。
结论为:
【例2】已知：如图，ABBD，CDBD，垂足分别为B、D，AD和BC相交于点E，EFBD，垂足为F，我们可以证明成立（不要求考生证明）．
若将图中的垂线改为斜交，如图，ABCD，AD，BC相交于点E，过点E作EFAB交BD于点F，则：
（1）还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
（2）请找出S△ABD，S△BED和S△BDC间的关系式，并给出证明．
【练习2.1】如图，在Rt△ABC中，C=90°，AC=4cm，BC=3cm．动点M，N从点C同时出发，均以每秒1cm的速度分别沿CA、CB向终点A，B移动，同时动点P从点B出发，以每秒2cm的速度沿BA向终点A移动，连接PM，PN，设移动时间为t（单位：秒，0＜t＜2.5）．
（1）当t为何值时，以A，P，M为顶点的三角形与△ABC相似？
（2）是否存在某一时刻t，使四边形APNC的面积S有最小值？
若存在，求S的最小值；若不存在，请说明理由．
27.2.2相交线型
母子型（→双垂直）
由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母怀，故被称为“母子型”．
图1图2
当图1中BAC=90°时，模型由“母子型”就变成“双垂直”．
由图1可得：．
由图2可得：．（射影定理）
【例3】如图，在Rt△ABC中，ACB=90°，AD平分CAB交于点D，
过点C作CEAD于E，CE的延长线交AB于点F，过点E作EGBC交AB于G，AE·AD=16，AB=4．
（1）求证：CE=EF；（2）求EG的长．
【练习3.1】如图，已知△ABC中，ACB=90°，AC=BC，点E、F在AB上，
ECF=45°．
（1）求证：△ACFBEC；
（2）设△ABC的面积为S，求证：AF·BE=2S．
旋转型
通过“旋转型”相似三角形的特征：
由一点发出四条线段对应成比例；
两对相似三角形；
3、
旋转型的几何模型图：
如图1，两个等腰直角三角板和有一条边在同一条直线上，，．将直线绕点逆时针旋转，交直线于点．将图1中的三角板沿直线向右平移，设、两点间的距离为．
图1图2图3
解答问题：
（1）当点与点重合时，如图2所示，可得的值为；
在平移过程中，的值为（用含的代数式表示）；
（2）将图2中的三角板绕点逆时针旋转，原题中的其他条件保持不
变．当点落在线段上时，如图3所示，请补全图形，计算的值；
（3）将图1中的三角板ABC绕点C逆时针旋转度，≤，原题中的
其他条件保持不变．计算的值（用含k的代数式表示）．
【练习3.1】（2014门头沟一模24）已知：在△ABC中，ABC=∠ACB=α，点D是AB边上任意一点，将射线DC绕点D逆时针旋转α与过点A且平行于BC边的直线交于点E.
（1）如图1，当α=60°时，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系；___________；
（2）如图2，当α=45°时，判断线段BD与AE之间的数量关系，并进行证明；
（3）如图3，当α为任意锐角时，依题意补全图形，请直接写出线段BD与AE之间的数量关系：_______________________．（用含α的式子表示,其中）
三垂直（→一线三等角）
根据角平分线的尺规作图可知，角两边上有以角的顶点为端点的两条相等的线段时，则连接这两条线段的另一个端点与角平分线上的任何一点，可在角平线两侧出现全等三角形。
三垂直（→一线三等角）的几何模型：
三垂直一线三等角
【例4】如图，在等腰梯形ABCD中，AB=CD，ADBC，AD=3㎝，BC=7㎝，B=∠C=60°，P为下底BC上一点（不与B、C重合），连结AP，过P点作PE交DC于E，使得APE=∠B．
（1）求证：△ABPPCE；
（2）在底边BC上是否存在一点P，使得DEEC=5∶3?如果存在，求出BP的长，如果不存在，请说明理由．
【练习4.1】如图，矩形ABCD中，E是BC的中点，连接AE，过点E作
EFAE交DC于点F，连接AF．设，下列结论：
（1）△ABEECF，（2）AE平分BAF，（3）当k=1时，△ABEADF，其中结论正确的是（）
A．（1）（2）（3）B．（1）（3）C．（1）（2）D．（2）（3）
【练习4.2】在Rt△ABC中，BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC所在的直线上运动，作ADE=45°（A，D，E按逆时针方向）．
（1）如图1，若点D在线段BC上运动，DE交AC于E．
求证：△ABDDCE；
当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
（2）如图2，若点D在BC的延长线上运动，DE的反向延长线与AC的延长线相交于点E，是否存在点D，使△ADE''是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由；
如图3，若点D在BC的反向延长线上运动，是否存在点D，使△ADE是等腰三角形？若存在，写出所有点D的位置；若不存在，请简要说明理由．
延时检测:
1．在平面直角坐标系中，正方形ABCD的位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，第2010个正方形的面积为（）<3分钟>
A．5×（）2009B．5×（）2010C．5×（）2008D．5×（）4018
2．等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，MPN=60°，且PM、PN分别交边AB、AC于点E、F．
（1）如图1，若点P在BC边上运动，且保持PEAB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（2）如图2，若点P在BC边上运动，且MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长．<5分钟>
前情回顾：
如图，等边三角形ABC的边长为3，点P为BC边上一点，且BP=1，点D为AC边上一点，若APD=60°，则CD的长为（）<4分钟>
A.B.C. D.1
5.如图，△ABC和△A1B1C1均为等边三角形，点O既是AC的中点，又是A1C1的中点，则AA1∶BB1=. <6分钟>
如图所示，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，OEBC于E，连接DE交OC于点F，作FGBC于G．
（1）说明点G是线段BC的一个三等分点；
（2）请你依照上面的画法，在原图上画出
BC的一个四等分点（保留作图痕迹，不必证明）．
【练习1.】数学课上，张老师出示了问题1：如图1，四边形ABCD是正方形，BC=1，对角线交点记作O，点E是边BC延长线上一点．连接OE交CD边于F，设CE=x，CF=y，求y关于x的函数解析式及其取值范围．
（1）经过思考，小明认为可以通过添加辅助线－－过点O作OMBC，垂足为M求解．你认为这个想法可行吗？请写出问题1的答案及相应的推导过程；
（2）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”改为“四边形ABCD是平行四边形，BC=3，CD=2，”其余条件不变（如图2），请直接写出条件改变后的函数解析式；
（3）如果将问题1中的条件“四边形ABCD是正方形，BC=1”进一步改为：“四边形ABCD是梯形，ADBC，BC=a，CD=b，AD=c（其中a，b，c为常量）”其余条件不变（如图3），请你写出条件再次改变后y关于x的函数解析式以及相应的推导过程．
【即时检测】
2.如图，矩形ABCD中，BEAC于点F，E恰好是CD的中点，
求证：BF2=AF2．<3分钟>
【即时检测】
3．如图，四边形ABCD和BEFG均为正方形，求AG：DF：CE=_________．
<5分钟>
【即时检测】
4．如图，边长12的正方形ABCD中，有一个小正方形EFGH，其中E、F、G分别在AB、BC、FD上．若BF=3，求小正方形的边长．
图1
图2
图3
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