旋转作辅助线
1.（2016济南，21，3分）如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝83，AD＝10，点E
是CD的中点．将这张纸片依次折叠两次：第一次折叠纸片使点A与点E重合，如图2，折痕为MN，连接ME、NE；第二次折叠纸片使点N与点E重合，如图3，点B落在B′处，折痕为HG，连接HE，则tan∠EHG＝_______．
2.（2016江苏，10,3分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AC=2，△ABC绕点C顺时针旋转得△A1B1C，当A1落在AB边上时，连接B1B，取BB1的中点D，连接A1D，则A1D的长度是（）。
3.（2015四川，11,3分）如图，在△ABC中，AB=AC，BC=24，tanC=2，如果将△ABC沿直线翻折后，点B落在边AC的中点E处，直线与边BC交于点D，那么BD的长为（）
A.13B.C.D.12
4.（2016?济南外国语二模）如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的小值是__________.
5.(2015全国）如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A与点C重合，折痕为EF，若AB=4，BC=2，那么线段EF的长为（）
A．2 B． C． D．
(2015南宁，11，3分)如图6，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，
∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为（）.
（A）4（B）5（C）6（D）7
7.（2015绵阳，18，3分）如图，在等边△ABC内有一点D，AD=5，BD=6，CD=4，将△ABD绕A点逆时针旋转，使AB与AC重合，点D旋转至点E，则∠CDE的正切值为．
（2015上海,18，4分）已知在△ABC中，，那么线段的长等___________．’C=_________度.
10.如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠B=90°,DE⊥AB,垂足为E,且DE=EB=5,请用割补(旋转图形)的方法求四边形ABCD的面积__________.
11.（2016年济南27，9分）在学习了图形的旋转知识后，数学兴趣小组的同学们又进一步对图形旋转前后的线段之间、角之间的关系进行了探究．
（一）尝试探究
如图1，在四边形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝60°，∠ABC＝∠ADC＝90°，点E、F?分別在线段BC、CD上，∠EAF＝30°，连接EF．
（1）如图2，将△ABE绕点A逆时针旋转60°后得到△A′B′E′（A′B′与AD重合），请直接写出∠E′AF＝________度，线段BE、EF、FD之间的数量关系为________；
?（2）如图3，当点E、F分别在线段BC、CD的延长线上时，其他条件不变，请探究线段BE、EF、FD之间的数量关系，并说明理由．
（二）拓展延伸
?如图4，在等边△ABC中，E、F是边BC上的两点，∠EAF＝30°，BE＝1，将△ABE?绕点A逆时针旋转60°得到△A′B′E′（A′B′与AC重合），连接EE′，AF与EE′交于点N，过点A作AM⊥BC于点M，连接MN，求线段MN的长度．
12.（2016济南二模）阅读下列材料：
小伟遇到这样一个问题：如图1，在△ABC（其中∠BAC是一个可以变化的角）中，AB=2，AC=4，以BC为边在BC的下方作等边△PBC，求AP的最大值．
小伟是这样思考的：利用变换和等边三角形将边的位置重新组合．他的方法是以点B为旋转中心将△ABP逆时针旋转60°得到△A′BC，连接A′A，当点A落在A′C上时，此题可解（如图2）．
请你回答：AP的最大值是______．
参考小伟同学思考问题的方法，解决下列问题：
如图3，等腰Rt△ABC．边AB=4，P为△ABC内部一点，则AP+BP+CP的最小值是______．（结果可以不化简）
13.（2016东营市，24，10分）如图1，△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝?90°，AB＝AC，四边形ADEF是正方形，点B、C分别在边AD、AF上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立．??
?(1)当△ABC绕点A逆时针旋转θ（0°＜θ＜90°）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．?
??(2)当△ABC绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长DB交CF于点H.???①求证：BD⊥CF；?
??②当AB＝2，AD＝32时，求线段DH的长．
14.（2016市中二模，27,9分）在Rt△ACB和Rt△AEF中，∠ACB=∠AEF=90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE．
（1）如图1，若点E，F分别落在边AB，AC上，探索PC与PE的数量关系，并说明理由．
（2）如图2、图3，把图1中的△AEF绕着点A顺时针旋转，点E落在边CA的延长线上（如图2）；或者点F落在边AB上（如图3）.其他条件不变，问题（1）中的结论是否发生变化？如果不变，选取其中一种情况加以证明；如果变化，请说明理由；
（3）记，当为何值时，△CPE总是等边三角形.
15.（2016成都，27，10分）如图①，△ABC中，∠ABC＝45°，AH⊥BC于点H，点D在AH上，且DH＝CH连接BD.?
(1)求证：BD=AC；
?(2)将△BHD绕点H旋转，得到△EHF（点B，D分别与点E，F对应），连接AE.?
ⅰ）如图②，当点F落在AC上时（F不与C重合），若BC＝4，tanC=3,求AE的长；
ⅱ）如图③，当△EHF是由△BHD绕点H逆时针旋转30°得到时，设射线CF
与AE相交于点G，连接GH，试探究线段GH与EF之间满足的等量关系，并说明理由。
16.（2015山东23，12分）如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG=2OD，OE=2OC，然后以OG、OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE．
求证：DE⊥AG；
正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角（0°＜α＜360°）得到正方形OE′F′G′，如图2．
①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；
②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．
=BN；，
（2015四川,20，10分）如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，使点A落在平面上的F点处，DF交BC于点E．
（1）求证：△DCE≌△BFE；
（2）若CD=2，∠ADB=30°，求BE的长．
A
3.A
5.B
B
7.3
9.135°
10.25
14.（1）答：PC=PE………………………………………………………………1分
证明：∵∠ACB=∠AEF=90°
∴Rt△FCB和Rt△BEF
∵点P是BF的中点
∴，……………………………2分
∴PC=PE……………………………………………………………3分
(2)如图2，延长CP、EF交于点H，PC=PE仍然成立[来源:学+科+网]
证明：∵∠ACB=∠AEF=90°
∴EH∥CB
∴∠CBP=∠PFH，∠H=∠BCP
∵点P是BF的中点
∴PC=PH
∴△CBP≌△HPF（AAS）
∴PC=PH………………………………………………………………………4分
∵∠AEF=90°
∴Rt△CEH中，………………………………………………5分
∴PC=PE………………………………………………………………………6分
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，PC=PE成立，
证明：∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，
在△DAF和△EAF中，
，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，
在△DAP和△EAP中，
，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，………………………………………………………………4分
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，
又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，………………………………………………………………5分
又∵PD=PE，
∴PC=PE．………………………………………………………………6分
（3）如图4，分别取AB、AF的中点N、G，分别连接PN、CN、EG、EC，
证明：由Rt△ACB∽Rt△AEF易得等腰△ANC∽等腰△EGA
则有，又因为，所以
由N为AB中点易得∠CNB=2∠CAN，且∠PNB=∠GAN
∵∠CAE=360°-2∠CAN-∠GAN
∠CNP=360°-∠CNB-∠PNB
∴∠CAE=∠CNP
∴△CAE∽△CNP（SAS）………………………………………………7分
∴
∴等腰△PCE∽等腰△NCA（SSS）………………………………………8分
∴∠CPE=∠CAN
当△CPE总是等边三角形时，∠CPE=∠CAN=60°，所以∠CBA=30°
所以…………………………………………………………9分
15.解答： 解：（1）如图1，延长ED交AG于点H，
∵点O是正方形ABCD两对角线的交点，
∴OA=OD，OA⊥OD，
∵OG=OE，
在△AOG和△DOE中，
，
∴△AOG≌△DOE，
∴∠AGO=∠DEO，
∵∠AGO+∠GAO=90°，
∴∠AGO+∠DEO=90°，
∴∠AHE=90°，
即DE⊥AG；
（2）①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况：
（Ⅰ）α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′=90°时，
∵OA=OD=OG=OG′，
∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O==，
∴∠AG′O=30°，
∵OA⊥OD，OA⊥AG′，
∴OD∥AG′，
∴∠DOG′=∠AG′O=30°，
即α=30°；
（Ⅱ）α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′=90°时，
同理可求∠BOG′=30°，
∴α=180°﹣30°=150°．
综上所述，当∠OAG′=90°时，α=30°或150°．
②如图3，当旋转到A、O、F′在一条直线上时，AF′的长最大，
∵正方形ABCD的边长为1，
∴OA=OD=OC=OB=，
∵OG=2OD，
∴OG′=OG=，
∴OF′=2，
∴AF′=AO+OF′=+2，
∵∠COE′=45°，
∴此时α=315°．
解：（1）∵∠ACB=90°，∠MCN=90°，
∴∠ACM=∠BCN，
在△MAC和△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠NBC=∠MAC=90°，
又∵∠ACB=90°，∠EAC=90°，
∴∠NDE=90°；
（2）不变，
在△MAC≌△NBC中，
，
∴△MAC≌△NBC，
∴∠N=∠AMC，
又∵∠MFD=∠NFC，
∠MDF=∠FCN=90°，即∠NDE=90°；
（3）作GK⊥BC于K，
∵∠EAC=15°，
∴∠BAD=30°，
∵∠ACM=60°，
∴∠GCB=30°，
∴∠AGC=∠ABC+∠GCB=75°，
∠AMG=75°，
∴AM=AG，
∵△MAC≌△NBC，
∴∠MAC=∠NBC，
∴∠BDA=∠BCA=90°，
∵BD=，
∴AB=+，
AC=BC=+1，
设BK=a，则GK=a，CK=a，
∴a+a=+1，
∴a=1，
∴KB=KG=1，BG=，
AG=，
∴AM=．
解：（1）∵CA=CB，∠ACB=90°，E，F分别是CA，CB边的三等分点，
∴CE=CF，
根据旋转的性质，CM=CE=CN=CF，∠ACM=∠BCN=α，
在△AMC和△BNC中，
，
∴△AMC≌△BNC，
∴AM=BN；
（2）∵MA∥CN，
∴∠ACN=∠CAM，
∵∠ACN+∠ACM=90°，
∴∠CAM+∠ACM=90°，
∴∠AMC=90°，
∴cosα===．
解答： （1）证明：由折叠得到BE=PE，EC⊥PB，
∵E为AB的中点，
∴AE=EB，即AE=PE，
∴∠EBP=∠EPB，∠EAP=∠EPA，
∵∠AEP为△EBP的外角，
∴∠AEP=2∠EPB，
设∠EPB=x，则∠AEP=2x，∠APE==90°﹣x，
∴∠APB=∠APE+∠EPB=x+90°﹣x=90°，即BP⊥AF，
∴AF∥EC，
∵AE∥FC，
∴四边形AECF为平行四边形；
（2）∵△AEP为等边三角形，
∴∠BAP=∠AEP=60°，AP=AE=EP=EB，
∵∠PEC=∠BEC，
∴∠PEC=∠BEC=60°，
∵∠BAP+∠ABP=90°，∠ABP+∠BEQ=90°，
∴∠BAP=∠BEQ，
在△ABP和△EBC中，
，
∴△ABP≌△EBC（AAS），
∵△EBC≌△EPC，
∴△ABP≌△EPC；
（3）过P作PM⊥DC，交DC于点M，
在Rt△EBC中，EB=3，BC=4，
根据勾股定理得：EC==5，
∵S△EBC=EB?BC=EC?BQ，
∴BQ==，
由折叠得：BP=2BQ=，
在Rt△ABP中，AB=6，BP=，
根据勾股定理得：AP==，
∵四边形AECF为平行四边形，
∴AF=EC=5，FC=AE=3，
∴PF=5﹣=，
∵PM∥AD，
∴=，即=，
解得：PM=，
则S△PFC=FC?PM=×3×=．
20.
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图6
第27题图
图3
图2
图1
11.
12.
13.
16.
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