八月的一个清晨，数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩点开了一封来自三位陌生物理学家的邮件。 三人在邮件中解释道：
然而陶哲轩的第一反应却是：
其实，陶哲轩向来不喜欢以这种方式被咨询，甚至在他的主页上写下了警告：别拿你的手稿随便打扰我。 但令三位物理学家惊讶的是，仅仅2个小时之后，他们就收到了陶哲轩的回复。 而更意想不到的是，在一周半后，他们还一起发表了论文，阐述了这个公式的证明过程。 是什么样的公式受到陶哲轩如此青睐？ 求解特征向量。 没错，就是这个再普通不过的基础数学求解公式。 按照传统解法： 计算特征多项式→求解特征值→求解齐次线性方程组，得出特征向量。 而这三位物理学家在研究“中微子”的过程中，却意外发现另一种奇妙解法： 知道特征值，只需要列一个简单的方程式，特征向量便可迎刃而解。 △三位物理学家。从左至右：张西宁、Peter Denton和Stephen Parke。 就像陶哲轩所说：
耶鲁大学数学家Van Vu则用“惊人”和“有趣”两个词来形容这一发现。 一位Hacker News网友甚至认为，这一公式的理论价值在克莱姆法则之上。 注：克莱姆法则是线性代数中的基本定理，用行列式计算出n元一次方程组的解。 新方法怎么来的？先来回顾下我们所熟知的特征向量和特征值。 一个矩阵乘以一个向量，就相当于做了一个线性变换。但这个向量的方向往往会发生改变。 但若是存在一个矩阵A，让这个向量v在线性变换后，方向仍然保持不变，只是拉伸或者压缩一定倍数，即：Av=λv。 那么，这个向量v就是特征向量，λ就是特征值。 三位物理学家在计算中微子振荡概率的时候发现： 特征向量和特征值的几何本质，其实就是空间矢量的旋转和缩放。而中微子的三个味（电子，μ子，τ子），不就相当于空间中的三个向量之间的变换吗？ 中微子振荡是一种量子力学现象。实验发现，电子中微子、μ子中微子和τ子中微子这三种中微子之间是可以相互转化的，而这就是中微子振荡现象。 △图源：Quantamagazine 物理学家们意识到，特征向量和特征值之间，可能存在更普遍的规律。于是，新公式的面纱被揭开了。 通过删除原始矩阵的行和列，创建子矩阵。 子矩阵和原始矩阵的特征值组合在一起，就可以计算原始矩阵的特征向量。 简而言之，已知特征值，一个方程式就可以求得特征向量。 △图源：Quantamagazine 这个新公式有多牛？ 数学天才、菲尔兹奖得主陶哲轩评价道：
证明过程在陶哲轩的回信中，他还附上了这一新公式的三种证明方法，并在之后和Peter Denton、Stephen Parke、张西宁三位物理学家一起发表了论文。 先定义A为一个n x n的厄米特矩阵，它具有特征向量λi(A)和赋范特征向量vi。 厄米特矩阵(Hermitian Matrix)能够将特征向量转化为实数，更适用于解决现实世界的问题。 特征向量中的每个元素标记为vi,j。 通过删除jth行和jth列，可以得到A的子矩阵Mj，大小为(n-1) x (n-1)，它的特征值为λk(Mj)。 首先，通过证明可以得到一个柯西-比内(Cauchy-Binet)型公式。 引理1。让A的一个特征值为0，不失一般性的，可以让λn(A)=0。那么对于任意大小为n x (n-1)的矩阵B，我们可以得到： 接下来就可以进入新公式的推导了。 引理2。特征向量各元素的范数平方与其特征值、子矩阵特征值有关。 于是可以证明：令j=1且i=n。通过λn(A)In 转化(shift) A，使得λn(A)=0；这也同样转化了A和Mj中所有剩余的特征值，因此公式2就变为：
注意，公式3的右侧为det(M1)。 接下来，在B=(0，In-1)中应用引理1。我们发现公式1的左边为
公式1的右边为det(M1)。 证明：对于任意不是A的特征值的λ，
对于，j∈[1,n]有，
进一步简化，并取极限λ→λi(A)，
公式7右边的对角元素提供了公式2的左半部分。通过共轭的定义，公式7左边的对角元素决定了λi(A)In-A的子矩阵。 应用引理2，必然的结论就是，如果特征向量中的一个元素消失，vi,j=0，那么矩阵A的特征向量方程将化为其子矩阵Mj的一个特征向量方程。 这一发现所带来的影响简而言之，物理学家们的这一最新成果，将使人们可以仅使用特征值信息，计算出特征向量。 也就是说，这一成果揭示了基础数学新的事实。 更为重要的是，在现实世界中，无论是在数学、物理学还是工程学中，许许多多的问题都涉及到特征向量和特征值的计算。 比如计算中微子振荡概率。 比如在机器学习领域，数据降维，人脸识别，都涉及矩阵特征值/特征向量理论的实际应用。
俄亥俄州立大学的粒子物理学家John Beacom指出，这一理论应用前景广泛，甚至将打开新世界的大门。 物理学家和数学天才的合作被三位物理学家邀请，并证明了新公式的数学家是公认的数学天才陶哲轩（Terence Tao）。
△陶哲轩 他7岁读高中，9岁上大学，13岁获得国际奥林匹克数学竞赛金牌，是IMO金银铜牌最年轻得主纪录的保持者。 24岁，他就成为UCLA数学系终身教授，31岁获得了有“数学界诺贝尔奖”之称的菲尔兹奖，成为第二位获此殊荣的华裔数学家。 而三位物理学家，一位是美国布鲁克黑文国家实验室的助理物理学家彼得·丹顿（Peter B.Denton）。2016年博士毕业于范德比尔特大学物理系。
另一位是新西兰物理学家斯蒂芬·帕克（Stephen J. Parke）。他是美国费米国家加速器实验室的杰出科学家和理论物理系主任，专注于中微子物理学和顶夸克物理学研究。
最后一位作者张西宁（Xining Zhang）同样是华人面孔，就读于芝加哥大学，从事理论粒子物理研究，是斯蒂芬·帕克的弟子。
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