约瑟夫环问题描述:编号为 1-N 的 N 个士兵围坐在一起形成一个圆圈,从编号为 1 的士兵开始依次报数(1,2,3…这样依次报),数到 m 的 士兵会被杀死出列,之后的士兵再从 1 开始报数。直到最后剩下一士兵,求这个士兵的编号。
1、方法一:数组在第一次遇到这个题的时候,我是用数组做的,我猜绝大多数人也都知道怎么做。方法是这样的: 用一个数组来存放 1,2,3 … n 这 n 个编号,如图(这里我们假设n = 6, m = 3)
![在这里插入图片描述](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/06/0913/192553911_1_20200609011017551.png) 然后不停着遍历数组,对于被选中的编号,我们就做一个标记,例如编号 arr[2] = 3 被选中了,那么我们可以做一个标记,例如让 arr[2] = -1,来表示 arr[2] 存放的编号已经出局的了。
![在这里插入图片描述](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/06/0913/192553911_2_20200609011017676) 然后就按照这种方法,不停着遍历数组,不停着做标记,直到数组中只有一个元素是非 -1 的,这样,剩下的那个元素就是我们要找的元素了。我演示一下吧:
![在这里插入图片描述](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/06/0913/192553911_3_20200609011017738) 这种方法简单吗?思路简单,但是编码却没那么简单,临界条件特别多,每次遍历到数组最后一个元素的时候,还得重新设置下标为 0,并且遍历的时候还得判断该元素时候是否是 -1。感兴趣的可以动手写一下代码,用这种数组的方式做,千万不要觉得很简单,编码这个过程还是挺考验人的。 这种做法的时间复杂度是 O(n * m), 空间复杂度是 O(n); 2、方法二:环形链表学过链表的人,估计都会用链表来处理约瑟夫环问题,用链表来处理其实和上面处理的思路差不多,只是用链表来处理的时候,对于被选中的编号,不再是做标记,而是直接移除,因为从链表移除一个元素的时间复杂度很低,为 O(1)。当然,上面数组的方法你也可以采用移除的方式,不过数组移除的时间复杂度为 O(n)。所以采用链表的解决方法如下: 1、先创建一个环形链表来存放元素:
![在这里插入图片描述](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/06/0913/192553911_4_20200609011017879) 2、然后一边遍历链表一遍删除,直到链表只剩下一个节点,我这里就不全部演示了
![在这里插入图片描述](http://image109.360doc.com/DownloadImg/2020/06/0913/192553911_5_20200609011017957) 代码如下: // 定义链表节点class Node{ int date; Node next; public Node(int date) { this.date = date; }} 核心代码 public static int solve(int n, int m) { if(m == 1 || n < 2) return n; // 创建环形链表 Node head = createLinkedList(n); // 遍历删除 int count = 1; Node cur = head; Node pre = null;//前驱节点 while (head.next != head) { // 删除节点 if (count == m) { count = 1; pre.next = cur.next; cur = pre.next; } else { count++; pre = cur; cur = cur.next; } } return head.date; } static Node createLinkedList(int n) { Node head = new Node(1); Node next = head; for (int i = 2; i <= n; i++) { Node tmp = new Node(i); next.next = tmp; next = next.next; } // 头尾串联 next.next = head; return head; }
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这种方法估计是最多人用的,时间复杂度为 O(n * m),空间复杂度是 O(n)。 还有更好的方法吗?答有,请往下看 方法三:递归其实这道题还可以用递归来解决,递归是思路是每次我们删除了某一个士兵之后,我们就对这些士兵重新编号,然后我们的难点就是找出删除前和删除后士兵编号的映射关系。 我们定义递归函数 f(n,m) 的返回结果是存活士兵的编号,显然当 n = 1 时,f(n, m) = 1。假如我们能够找出 f(n,m) 和 f(n-1,m) 之间的关系的话,我们就可以用递归的方式来解决了。我们假设人员数为 n, 报数到 m 的人就自杀。则刚开始的编号为 … 1 … m - 2 m - 1 m m + 1 m + 2 … n … 进行了一次删除之后,删除了编号为 m 的节点。删除之后,就只剩下 n - 1 个节点了,删除前和删除之后的编号转换关系为: 删除前 — 删除后 … — … m - 2 — n - 2 m - 1 — n - 1 m ---- 无(因为编号被删除了) m + 1 — 1(因为下次就从这里报数了) m + 2 ---- 2 … ---- … 新的环中只有 n - 1 个节点。且删除前编号为 m + 1, m + 2, m + 3 的节点成了删除后编号为 1, 2, 3 的节点。 假设 old 为删除之前的节点编号, new 为删除了一个节点之后的编号,则 old 与 new 之间的关系为 old = (new + m - 1) % n + 1。 这样,我们就得出 f(n, m) 与 f(n - 1, m)之间的关系了,而 f(1, m) = 1.所以我们可以采用递归的方式来做。代码如下: 注:有些人可能会疑惑为什么不是 old = (new + m ) % n 呢?主要是因为编号是从 1 开始的,而不是从 0 开始的。如果 new + m == n的话,会导致最后的计算结果为 old = 0。所以 old = (new + m - 1) % n + 1.
int f(int n, int m){ if(n == 1) return n; return (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;} 我去,两行代码搞定,而且时间复杂度是 O(n),空间复杂度是O(1),牛逼!那如果你想跟别人说,我想一行代码解决约瑟夫问题呢?答是没问题的,如下: int f(int n, int m){ return n == 1 ? n : (f(n - 1, m) + m - 1) % n + 1;}
卧槽,以后面试官让你手写约瑟夫问题,你就扔这一行代码给它。
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