高中数学：椭圆的参数方程及其应用

椭圆的参数方程知识，可以拓宽视野，简化平面解析几何的运算。本文主要介绍椭圆的参数方程及其应用。

一般都是这样定义的：

椭圆的参数方程是（α是参数，）。

特别地，以点（）为圆心，半径是r的椭圆的参数方程是（α是参数，r>0）。

一、求椭圆的内接多边形的周长及面积

例1  求椭圆的内接矩形的面积及周长的最大值。

解：如图，设椭圆的内接矩形在第一象限的顶点是A（）（），矩形的面积和周长分别是S、L。

，

当且仅当时，，，此时α存在。

 

二、求轨迹

例2  已知点A在椭圆上运动，点B（0，9）、点M在线段AB上，且，试求动点M的轨迹方程。

解：由题意知B（0，9），设A（），并且设M（x，y）。

则

，

动点M的轨迹的参数方程是（α是参数），

消去参数得。

 

三、求函数的最值

例3  设点P（x，y）在椭圆，试求点P到直线的距离d的最大值和最小值。

解：点P（x，y）在椭圆上，设点P（）（α是参数且），

则。

当时，距离d有最小值0，此时椭圆与直线相切；当时，距离d有最大值2。

 

四、求解有关离心率等入手比较困难的问题

例4  椭圆与x轴的正向相交于点A，O为坐标原点，若这个椭圆上存在点P，使得OP⊥AP。求该椭圆的离心率e的取值范围。

解：设椭圆上的点P的坐标是（）（α≠0且α≠π），A（a，0）。

则。而OP⊥AP，

于是，整理得

解得（舍去），或。

因为，所以。可转化为，解得，于是。故离心率e的取值范围是。

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