中考热点问题——函数的交点

随着越来越多的函数题目与高中衔接。几个能力大家需要加强：

①数与式的运算能力；

②含参数方程与不等式的解法；

③数形结合思想，特别是画图的能力。

本文介绍的是2019年各地出现的函数交点问题。题目选自以下地区：

2019·贵阳、2019·天门

2019·乐山、2019·大连

2019·大庆、2019·广州

【中考真题】

（2019·贵阳）在平面直角坐标系内，已知点A（﹣1，0），点B（1，1）都在直线y=1/2x+1/2上，若抛物线y＝ax²﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，则a的取值范围是（　　）

A．a≤﹣2

B．a＜9/8

C．1≤a＜9/8或a≤﹣2

D．﹣2≤a＜9/8

【分析】

由于a≠0，则分为两种情况：

①抛物线开口向上a＞0；

②抛物线开口向下a＜0；

由于抛物线与线段有两个交点，那么联立之后必然△＞0.

令1/2x+1/2=ax²﹣x+1，

则2ax²﹣3x+1＝0

△＝9﹣8a＞0

a＜9/8

PART1第1种情况，a＞0，

那么我们可以得到抛物线的对称轴在y轴的右侧。

如下图所示，怎样才可以使得它们有两个交点呢？

当抛物线恰好经过点B的时候是一个临界点，

然后开口再可以缩小一点，但是不能扩大。否则另一个交点就不再线段上了。

同时需要保证顶点坐标在直线的下方。

即a-1+1≥1。

a可以继续变大，开口缩小，直至只有1个交点。

PART2 第2种情况，a＜0，

那么我们可以得到抛物线的对称轴在y轴的左侧。

如下图所示，恰好经过点A的时候，此时是一个临界点。

开口可以缩小，不能放大，也就是a的绝对值变大。

代入点A的坐标，a+1+1≤0

【答案】C

【解析】解：∵抛物线y＝ax²﹣x+1（a≠0）与线段AB有两个不同的交点，

∴令1/2x+1/2=ax²﹣x+1，则2ax²﹣3x+1＝0

∴△＝9﹣8a＞0

∴a＜9/8

①当a＜0时，a+1+1≤0，a-1+1≤1

解得：a≤﹣2

∴a≤﹣2

②当a＞0时，a+1+1≥0，a-1+1≥1

解得：a≥1

∴1≤a＜9/8

综上所述：1≤a＜9/8或a≤﹣2

故选：C．

【举一反三】