静安区2019学年第二学期教学质量检测高三数学试卷
参考答案与评分标准
一.．．．．．6．．．．．．．二、．．14．三、1．14分，第1小题7分，第2小题满分7分）
如图所示，圆锥的底面⊙半径为，是圆周上的定点，动点在圆周上逆时针旋转，设，是母线的中点．时，与底面所成角为．，求的值．，
设为中点，联结，则．
平面，平面，
，……………..2分
在中，，
得．……….1分
得，，．………．………………..1分
…………..2分
（2）解法一：如图建立空间直角坐标系...1分
则，，
，，
，
．……….2分
由题意，……….2分
，……….2分
解法二：设为中点，联结，则．
．……….2分
又，可得平面，
．……….2分
是等边三角形．………1分
故，或．……….2分
解法三：设为中点，联结，，
．………1分
设为中点，联结，，
．………1分
在中，由余弦定理，有，………1分
所以，在中，．
在中，有，
所以，在中，，
即得．………2分
，………2分
16．14分；第1小题6分，第2小题8分）
若函数满足下列条件：①的图像向左平移个单位时第一次和原图像重合；对任意的都有成立．
（1）求的解析式；
（2）若锐角的内角满足，且的对边，求的周长的取值范围．
16．，
由，解得．………………..2分
，，………………..2分
，，（）
又，．………………..2分
故．
（2），，………………..1分
又，，．………………..1分
，
．………………..4分
．
所以，周长．………………..2分
17．（本题满分1分，第1小题分，第2小题分第小题分）：的焦点为，若的三个顶点都在抛物线上，且，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）是否存在“核心三角形”，其中两个顶点的坐标分别为和？请说明理由；
（2）设“核心三角形”的一边所在直线的斜率为4，求直线的方程；
（3）已知是“核心三角形”，证明：点的横坐标小于2．
解：（1）第三个顶点的坐标为．
但点不在抛物线上
所以这样的“核心三角形”不存在．（反证法叙述同样给分）………………..5分
（2）设直线的方程为，与联立，得．…..2分
设
由得，．……………..3分
代入方程，解得，所以直线的方程为．…..2分
（3）设直线的方程为，与联立，得．..1分
因为直线与抛物线相交，故判别式．……………..1分
，
所以，．
点的坐标为，
又因为点在抛物线上，故，得．
，．
故，点的横坐标．………………..5分
注：（3）也可以用反证法证明，同样给分．
18．（本题满分1分，第1小题分，第2小题分第小题分）的每一项均为正数，对于给定的正整数，，若是等比数列，则称为数列．
是等比数列，则是数列；
（2）请你写出一个不是等比数列的数列的通项公式；
（3）设为数列，且满足，请用数学归纳法证明：是等比数列．是公比为的等比数列，
对于给定的正整数，，
．．．是等比数列．为数列．………………..6分
（2）（）．………………..6分
简洁的例子如：．为数列，所以，是等比数列，其中，
，
是常数列，设常数为，即．．i）由已知，可得当时命题成立．………………..1分
（ii）假设时命题成立，即，．…时，是常数列．………………..2分
，
．………………..2分
等式也成立．i）和（ii）可以断定，对任何都成立，即是等比数列．………………..1分
令，以下用数学归纳法证明（二）．i），，，，即，．时命题成立．………………..1分
假设时命题成立，即（）．………………ii）当时，．…………．i）和（ii）可以断定，对任何都成立，即是等比数列．…………..1分
注：其它表述方法同样给分．
E
z
y
x
D
D
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