对于带电粒子(小球)在电磁场(和重力场)中作复杂运动的问题,都可以用同一种方法--“等效假设”法来解答,即将“速度”等效为“大小相等、方向相反的两个速度和”。以下举例说明。1、如图1所示,一带电量为正q的小球,质量为m,从P点沿水平z轴负方向以初速度开始运动。已知。在平面上有一无限大的荧光屏,整个空间充满磁感应强度为B、沿z轴负方向的匀强磁场。求:小球打到屏上的位置(用坐标表示,已知重力加速度为g)。解析:带电小球在P点时速度的方向与磁感应强度B的方向相同,因而不受磁场力作用,只受重力作用。在重力的作用下,小球的速度方向要发生变化。一旦速度方向与磁感应强度的方向不平行,小球就会受到磁场力(洛仑兹力)的作用,而磁场力反过来又要和重力一起改变速度的方向,因而小球的运动方向及磁场力的方向都是时时刻刻发生变化的。总之,小球是在变力作用下运动,运动情形比较复杂,用常规方法很难解决这个问题。我们知道,若带电粒子在磁场中只受洛仑兹力作用,那么它将做匀速圆周运动。现在的题目中带电小球在受洛仑兹力的同时,还受到了重力的作用,所以,要想办法将重力平衡掉才便于解答。在P点时,小球只有沿z轴负方向的速度,但我们可以等效地假设小球还有沿x轴正方向的速度和沿x轴负方向的速度,且速度的大小为。这样,由于,与对应的洛仑兹力就将重力平衡掉了。根据运动的独立性,在z轴方向上,小球做速度大小为的匀速直线运动;在垂直于z轴的平面(xoy平面)内,小球的运动是以下二个分运动的合运动:(1)沿x轴负方向、速度大小为的匀速直线运动;(2)初速度沿x轴正方向、速度大小为的匀速圆周运动。如图2所示。比较以上二式可知,。所以,在t时间内圆周运动中半径转过的角度(即图2中的角)。匀速圆周运动的半径为2、如图3所示,在一绝缘台面的上方空间的足够大的区域内,有互相正交的匀强电场和匀强磁场,电场强度为磁感应强度为。今有一质量、带电量为的可视为质点的小球A由静止开始在台面上运动,取,求:解析:(1)A球刚离开台面时,A球所受的磁场力与重力平衡,台面对A球的弹力恰好为零,受力情况如图4所示。设A球此时的速度为,由此有代入数据可解得(2)离开台面后,A球在电场力的作用下作加速运动,其重力已不能与所受的洛仑兹力平衡,A球将在重力、洛仑兹力和电场力三力的作用下作复杂运动。为了便于分析,我们可将电场力平衡掉。等效地假设:A球还有竖直向上的速度和竖直向下的速度,且,这样与对应的磁场力就将电场力平衡掉了,如图5所示。此后A球的运动可看作以下三个运动的合运动:(1)速度为水平向右的匀速直线运动;(2)速度为的竖直向上的匀速直线运动;(3)初速度方向向下的、大小为的、逆时针方向(正视)的匀速圆周运动。也可以将上述(1)(2)两个分运动合成一个运动,从而将小球的运动看作是以下两个运动的合运动:(1)斜向右上方、速度大小为的匀速直线运动;(2)初速度方向向下的、大小为的、逆时针方向的匀速圆周运动。由以上分析可知,此后小球运动的最大速度是“同方向时”的速度,即小结:凡是涉及到洛仑兹力的复杂运动问题,只要利用“等效假设”的方法,设想带电质点除原有的运动速度之外,还有两个等值反向的速度和,并且,与其中一个速度(比如)相对应的洛仑兹力()正好将原洛仑兹力以外的那个力平衡,这样,带电质点的运动就可以看作以下几个运动的合运动:(1)以原有的速度做匀速直线运动;(2)以速度做匀速直线运动;(3)以为初速做匀速圆周运动。
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