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母题 在△ABC中,∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E， (1)当直线MN绕点C旋转到图(1)的位置时，显然有：DE=AD+BE； (2)当直线MN绕点C旋转到图(2)的位置时，求证：DE=AD−BE； (3)当直线MN绕点C旋转到图(3)的位置时，试问DE、AD、BE具有怎样的等量关系?请直接写出这个等量关系。
一、引入一线三等角概念 “一线三等角”是一个常见的相似模型，指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。不同地区对此有不同的称呼， “K 形图”，“三垂直”，“弦图”等，以下称为“一线三等角”。 二、”一线三等角“的基本模型 【全等型】如图，由∠1=∠2=∠3且PC=PD,易得△ACP≌△BPD （1）同侧
（2）异侧
【相似型】如图，由∠1=∠2=∠3,易得△ACP∽△BPD （1）同侧
（2）异侧
三、”一线三等角“的模型推广 （1）.中点型“一线三等角” 如图，当∠1=∠2=∠3，且P是AB中点时，则有△BDE∽△CFD∽△DFE.
（2）.等腰型“一线三等角” 如图，当∠1=∠2=∠3，且△CPD是以P点顶点的等腰三角形 ，则有△ACP≌△BPD
（3）.“一线三等角”的各种变式 ①以等腰三角形为背景 ②以等边三角形为背景 ③以等腰直角三角形为背景 ④以四边形（常见于正方形、梯形）为背景 下面以等腰三角形为例进行说明
不管以什么形式在怎么的背景下进行变形，只要能根据题中条件抓住关键的一线和三个等角，再隐去多余的图形，那么就可以由基本模型快速确定相似三角形来进行解题了。 四、“一线三等角”的应用四种情况 ①.图形中已经存在“一线三等角”，直接应用模型解题； ②.图形中存在“一线二等角”，再构造“一个等角”利用模型解题； ③.图形中只有直线上一个角，再构造“两个等角” 利用模型解题； ④. 图形中只有斜45度角，斜直角或斜Rt∆，可构造“一线三等（直）角” 模型解题。 体会：感觉最后一种情况出现比较多，尤其是全国各地的中考压轴题中，经常会有一个特殊角或知道该角的三角函数值时，通常需要常构造“一线三等角”来解题. 2.在定边对定角问题中，构造一线三等角是基本手段，尤其是直角坐标系中的张角问题，在 x 轴或 y 轴（也可以是平行于 x 轴或 y 轴的直线）上构造一线三等角解决问题更是重要的手段. 3.构造一线三等角的步骤：找角、定线、构相似. 下面将以实例说明构造方法 五、例题精选 例1、正方形ABCD的边长为5，点P、Q分别在直线CB、DC上（点P不与点C、点B重合），且∠APQ=900.当CQ=1时，则线段BP= . 分析：
解答： (1)①当Q在线段CD上
②当Q在线段CD上
(2)①当Q在线段DC的延长线上时，即点p在线段CB的延长线上（如图3）
②当Q在线段DC的延长线上时，点p在线段CB的反向延长线上（如图4）
说明：若图中三“等角”均为直角，习惯被称为一线三直角型，一线三直角是特殊的一线三等角型，但和普通一线三等角型嫁接在等腰三角形或等腰梯形所不同的是，它常嫁接于直角三角形或矩形。 例2、如图所示，已知△ABC中，∠BAC=45°，AD⊥BC于D，BD=2，CD=3，试求AD的长．
“一线三等角”构图提示： 方法一：构造等腰直角三角形△EBF，易证△BEA∽△AFC，设AD=x，则由EA/FC=EB/AF，易求AD=6.
方法二：与方法一类似
方法三：如图 在Rt△CEF中，由勾股定理易求x=6或X=-1（舍），即AD=6.
方法四：在AD上取E，F两点，使BD=DE，CD=DF，易证△ABE∽△CAF，后面读者自行完成.
方法五：如图，过A作EF‖BC，使∠AEB=∠AFC=45度 ，易证△BEA∽△AFC，后面略
其它方法 方法七： 构造正方形，属半角模型（解法见前期方法）.
方法八：构造隐圆
方法九：构造子母图
方法十：构造等腰直角三角形△EAF
方法十一：作AC边上的高BH,根据等积法可求
方法十二：利用两角和的正切（高中方法，只做了解）
当然还有建系法等，其它解法不再一一叙述。有更好的解法可联系小编哟！ 【压轴题精选】 1.
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【练一练】 1、CD是经过∠BCA顶点C的一条直线，CA＝CB.E，F分别是直线CD上两点，且∠BEC＝∠CFA＝∠α.[来源:学,科,网] (1)若直线CD经过∠BCA的内部，且E，F在射线CD上，请解决下面两个问题： ①如图①，若∠BCA＝90°，∠α＝90°，则BE CF；EF |BE－AF | (选填“＞”“＜”或“＝”)； ②如图②，若0°＜∠BCA＜180°，请添加一个关于∠α与∠BCA关系的条件 ，使①中的两个结论仍然成立，并证明两个结论成立． (2)如图③，若直线CD经过∠BCA的外部，∠α＝∠BCA，请写出EF，BE，AF三条线段数量关系的合理猜想(不要求证明)．
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