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“一线三等角”相似模型 (一)情景再现 问题1:如图,在等腰△ABC中,AB=AC ∠BAC=120°,点P为BC边上的点,过点P作∠MPN=30°,将∠MPN绕点P旋转,∠MPN的两边分别交AB、AC于点E、F时,问:△BPE与△PCF是否相似?证明你的结论。 问题2:如图,在等边△ABC中,边长为6,点D是BC上的动点,∠MDN=60°,当BD=1,NC=3时,求BM的长。 问题3:如图,在正方形ABCD中,边长为1,点E在线段BC上,BE=,∠AEF=90°,边EF交DC于F,求EF的长。 （二）抽象模型 1、模型定义 所谓“一线三等角模型”，即两个相等的角一边在同一直线上，另一边在该直线的同侧或异侧，第三个与之相等的角的顶点在前一组等角的顶点所确定的线段上或线段的延长线上，该角的两边分别位于一直线的同侧或异侧，并与两等角两边相交，就会形成一组相似三角形，习惯上把该组相似三角形称为“一线三等角”型相似三角形.(通俗地讲，一条直线上有三个相等的角一般会存在相似三角形) 2、基本图形： （1）点P在线段AB上 （2）点P在线段AB延长线上 三、载体 (1)等腰或等边三角形底边上的“一线三等角”模型 (2) 矩形或正方形中的“一线三等角”模型(“K”字型) （3）平面直角坐标系中的“一线三等角”模型 （三）问题探究 问题:如图16,在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,点D、E分别在BC、AC上,连接AD、DE,使∠1=∠B 求线段CE的最大值 变式1:(2017年无锡中考副卷第28题改编)如图1，在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放于P处，三角板的两直角边分别与AB、BC边相交于点E、F，连接EF。 （1）如图2，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长 （2）将三角板从图1中点的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，∠PEF的大小是否发生变化? 变式2:（1）在平面直角坐标系中，如图，直线l1:y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，将△OAB沿l1翻折，求O的对称点P的坐标
（2）直线l2过点P,且与直线l1的夹角是45°,求两直线l1、l2的交点的坐标。 变式2解答后,问学生:还有其他思路吗? 另解：连接OP，过P作PC⊥x轴交x轴于点c，
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